Рассмотрим, как можно рассчитать давление жидкости на дно и стенки сосуда. Решим сначала задачу с числовыми данными. Прямоугольный бак наполнен водой (рис. 96). Площадь дна бака 16 м2, высота его 5 м. Определим давление воды на дно бака.
Сила, с которой вода давит на дно сосуда, равна весу столба воды высотой 5 м и площадью основания 16 м2, иначе говоря, эта сила равна весу всей воды в баке.
Чтобы найти вес воды, надо знать ее массу. Массу воды можно вычислить по объему и плотности. Найдем объем воды в баке, умножив площадь дна бака на его высоту: V= 16 м2*5 м=80 м3. Теперь определим массу воды, для этого умножим ее плотность p = 1000 кг/м3 на объем: m = 1000 кг/м3 * 80 м3 = 80 000 кг. Мы знаем, что для определения веса тела надо его массу умножить на 9,8 Н/кг, так как тело массой 1 кг весит 9,8 Н.
Следовательно, вес воды в баке равен P = 9,8 Н/кг * 80 000 кг ≈ 800 000 Н. С такой силой вода давит на дно бака.
Разделив вес воды на площадь дна бака, найдем давление p:
p = 800000 H/16 м2 = 50 000 Па = 50 кПа.
Давление жидкости на дно сосуда можно рассчитать, пользуясь формулой, что значительно проще. Чтобы вывести эту формулу, вернемся к задаче, но только решим ее в общем виде.
Обозначим высоту столба жидкости в сосуде буквой h, а площадь дна сосуда S.
Объем столба жидкости V= Sh.
Масса жидкости т = pV,или m = pSh.
Вес этой жидкости P = gm, или P = gpSh.
Так как вес столба жидкости равен силе, с которой жидкость давит на дно сосуда, то, разделив вес P на площадь S, получим давление р:
p = P/S, или p = gpSh/S
p = gph.
Мы получили формулу для расчета давления жидкости на дно сосуда. Из этой формулы видно, что давление жидкости на дно сосуда прямо пропорционально плотности и высоте столба жидкости.
По этой формуле можно вычислять и давление на стенки, сосуда, а также давление внутри жидкости, в том числе давление снизу вверх, так как давление на одной и той же глубине одинаково по всем направлениям.
При расчете давления по формуле:
p = gph
надо плотность p выражать в килограммах на кубический метр (кг/м3), а высоту столба жидкости h - в метрах (м), g = 9,8 Н/кг, тогда давление будет выражено в, паскалях (Па).
Пример. Определить давление нефти на дно цистерны, если высота столба нефти 10 м, а плотность ее 800 кг/м3.
Вопросы. 1. От каких величин зависит давление жидкости на дно сосуда? 2. Как зависит давление жидкости на дно сосуда от высоты столба жидкости? 3. Как зависит давление жидкости на дно сосуда от плотности жидкости? 4. Какие величины надо знать, чтобы рассчитать давление жидкости на стенки сосуда? 5. По какой формуле рассчитывают давление жидкости на дно и стенки сосуда?
Упражнения. 1. Определите давление на глубине 0,6 м в воде, керосине, ртути. 2. Вычислите давление воды на дно одной из глубочайших морских впадин, глубина, которой 10 900 м, Плотность морской воды 1030 кг/м3. 3. На рисунке 97 изображена футбольная камера, соединенная с вертикально расположенной стеклянной трубкой. В камере и трубке находится вода. На камеру положена дощечка, а на нее - гиря массой 5 кг. Высота столба воды в трубке 1 м. Определите площадь соприкосновения дощечки с камерой.
Задания. 1. Возьмите высокий сосуд. В боковой поверхности его по прямой, на разной высоте от дна сделайте три небольших отверстия. Закройте отверстия спичками и налейте в сосуд до верха воды. Откройте отверстия и проследите за струйками вытекающей воды (рис. 98). Ответьте на вопросы: почему вода вытекает из отверстий? Из чего следует, что давление увеличивается с глубиной? 2. Прочтите в конце учебника параграфы «Гидростатический парадокс. Опыт Паскаля», «Давление на дне морей и океанов. Исследование морских глубин».
Возьмем цилиндрический сосуд с горизонтальным дном и вертикальными стенками, наполненный жидкостью до высоты (рис. 248).
Рис. 248. В сосуде с вертикальными стенками сила давления на дно равна весу всей налитой жидкости
Рис. 249. Во всех изображенных сосудах сила давления на дно одинакова. В первых двух сосудах она больше веса налитой жидкости, в двух других - меньше
Гидростатическое давление в каждой точке дна сосуда будет одно и то же:
Если дно сосуда имеет площадь , то сила давления жидкости на дно сосуда , т. е. равна весу жидкости, налитой в сосуд.
Рассмотрим теперь сосуды, отличающиеся по форме, но с одинаковой площадью дна (рис. 249). Если жидкость в каждом из них налита до одной и той же высоты , то давление на дно . во всех сосудах одно и то же. Следовательно, сила давления на дно, равная
также одинакова во всех сосудах. Она равна весу столба жидкости с основанием, равным площади дна сосуда, и высотой, равной высоте налитой жидкости. На рис. 249 этот столб показан около каждого сосуда штриховыми линиями. Обратите внимание на то, что сила давления на дно не зависит от формы сосуда и может быть как больше, так и меньше веса налитой жидкости.
Рис. 250. Прибор Паскаля с набором сосудов. Сечения одинаковы у всех сосудов
Рис. 251. Опыт с бочкой Паскаля
Этот вывод можно проверить на опыте при помощи прибора, предложенного Паскалем (рис. 250). На подставке можно закреплять сосуды различной формы, не имеющие дна. Вместо дна снизу к сосуду плотно прижимается подвешенная к коромыслу весов пластинка. При наличии жидкости в сосуде на пластинку действует сила давления, которая отрывает пластинку, когда сила давления начнет превосходить вес гири, стоящей на другой чашке весов.
У сосуда с вертикальными стенками (цилиндрический сосуд) дно открывается, когда вес налитой жидкости достигает веса гири. У сосудов другой формы дно открывается при той же самой высоте столба жидкости, хотя вес налитой воды может быть и больше (расширяющийся кверху сосуд), и меньше (суживающийся сосуд) веса гири.
Этот опыт приводит к мысли, что при надлежащей форме сосуда можно с помощью небольшого количества воды получить огромные силы давления на дно. Паскаль присоединил к плотно законопаченной бочке, налитой водой, длинную тонкую вертикальную трубку (рис. 251). Когда трубку заполняют водой, сила гидростатического давления на дно становится равной весу столба воды, площадь основания которого равна площади дна бочки, а высота равна высоте трубки. Соответственно увеличиваются и силы давления на стенки и верхнее днище бочки. Когда Паскаль заполнил трубку до высоты в несколько метров, для чего потребовалось лишь несколько кружек воды, возникшие силы давления разорвали бочку.
Как объяснить, что сила давления на дно сосуда может быть, в зависимости от формы сосуда, больше или меньше веса жидкости, содержащейся в сосуде? Ведь сила, действующая со стороны сосуда на жидкость, должна уравновешивать вес жидкости. Дело в том, что на жидкость в сосуде действует не только дно, но и стенки сосуда. В расширяющемся кверху сосуде силы, с которыми стенки действуют на жидкость, имеют составляющие, направленные вверх: таким образом, часть веса жидкости уравновешивается силами давления стенок и только часть должна быть уравновешена силами давления со стороны дна. Наоборот, в суживающемся кверху сосуде дно действует на жидкость вверх, а стенки - вниз; поэтому сила давления на дно оказывается больше веса жидкости. Сумма же сил, действующих на жидкость со стороны дна сосуда и его стенок, всегда равна весу жидкости. Рис. 252 наглядно показывает распределение сил, действующих со стороны стенок на жидкость в сосудах различной формы.
Рис. 252. Силы, действующие на жидкость со стороны стенок в сосудах различной формы
Рис. 253. При наливании воды в воронку цилиндр поднимается вверх.
В суживающемся кверху сосуде со стороны жидкости на стенки действует сила, направленная вверх. Если стенки такого сосуда сделать подвижными, то жидкость поднимет их. Такой опыт можно произвести на следующем приборе: поршень неподвижно закреплен, и на него надет цилиндр, переходящий в вертикальную трубку (рис. 253). Когда пространство над поршнем заполняется водой, силы давления на участках и стенок цилиндра поднимают цилиндр вверх.
Жидкости и газы передают по всем направлениям приложенное к ним давление. Об этом гласит закон Паскаля и практический опыт.
Но существует еще и собственный вес, который тоже должен влиять на давление, существующее в жидкостях и газах. Вес собственных частей или слоев. Верхние слои жидкости давят на средние, средние на нижние, а последние - на дно. То есть мы можем говорить о существовании давления столба покоящейся жидкости на дно.
Формула давления столба жидкости
Формула для расчета давления столба жидкости высотой h имеет следующий вид:
где ρ - плотность жидкости,
g - ускорение свободного падения,
h - высота столба жидкости.
Это формула так называемого гидростатического давления жидкости.
Давление столба жидкости и газа
Гидростатическое давление, то есть, давление, оказываемое покоящейся жидкостью, на любой глубине не зависит от формы сосуда, в котором находится жидкость. Одно и то же количество воды, находясь в разных сосудах, будет оказывать разное давление на дно. Благодаря этому можно создать огромное давление даже небольшим количеством воды.
Это очень убедительно продемонстрировал Паскаль в семнадцатом веке. В закрытую бочку, полную воды, он вставил очень длинную узкую трубку. Поднявшись на второй этаж, он вылил в эту трубку всего лишь одну кружку воды. Бочка лопнула. Вода в трубке из-за малой толщины поднялась до очень большой высоты, и давление выросло до таких значений, что бочка не выдержала. То же самое справедливо и для газов. Однако, масса газов обычно намного меньше массы жидкостей, поэтому давление в газах, обусловленное собственным весом можно часто не учитывать на практике. Но в ряде случаев приходится считаться с этим. Например, атмосферное давление, которое давит на все находящиеся на Земле предметы, имеет большое значение в некоторых производственных процессах.
Благодаря гидростатическому давлению воды могут плавать и не тонуть корабли, которые весят зачастую не сотни, а тысячи килограмм, так как вода давит на них, как бы выталкивая наружу. Но именно по причине того же гидростатического давления на большой глубине у нас закладывает уши, а на очень большую глубину нельзя спуститься без специальных приспособлений - водолазного костюма или батискафа. Лишь немногие морские и океанические обитатели приспособились жить в условиях сильного давления на большой глубине, но по той же причине они не могут существовать в верхних слоях воды и могут погибнуть, если попадут на небольшую глубину.
Жидкости и газы передают по всем направлениям не только оказываемое на них внешнее давление, но и то давление, которое существует внутри их благодаря весу собственных частей. Верхние слои жидкости давят на средние, те - на нижние, а последние - на дно.
Давление, оказываемое покоящейся жидкостью, называется гидростатическим .
Получим формулу для расчета гидростатического давления жидкости на произвольной глубине h
(в окрестности точки А
на рисунке 98). Сила давления, действующая в этом месте со стороны вышележащего узкого вертикального столба жидкости, может быть выражена двумя способами:
во-первых, как произведение давления в основании этого столба на площадь его сечения:
F = pS ;
во-вторых, как вес того же столба жидкости, т. е. произведение массы жидкости (которая может быть найдена по формуле m = ρV , где объем V = Sh ) на ускорение свободного падения g :
F = mg = ρShg .
Приравняем оба выражения для силы давления:
pS = ρShg .
Разделив обе части этого равенства на площадь S, найдем давление жидкости на глубине h :
p = ρgh . (37.1)
Мы получили формулу гидростатического давления . Гидростатическое давление на любой глубине внутри жидкости не зависит от формы сосуда, в котором находится жидкость, и равно произведению плотности жидкости, ускорения свободного падения и глубины, на которой рассматривается давление.
Одно и то же количество воды, находясь в разных сосудах, может оказывать разное давление на дно. Поскольку это давление зависит от высоты столба жидкости, то в узких сосудах оно будет больше, чем в широких. Благодаря этому даже небольшим количеством воды можно создать очень большое давление. В 1648 г. это очень убедительно продемонстрировал Б. Паскаль. Он вставил в закрытую бочку, наполненную водой, узкую трубку и, поднявшись на балкон второго этажа дома, вылил в эту трубку кружку воды. Из-за малой толщины трубки вода в ней поднялась до большой высоты, и давление в бочке увеличилось настолько, что крепления бочки не выдержали, и она треснула (рис. 99).
Полученные нами результаты справедливы не только для жидкостей, но и для газов. Их слои также давят друг на друга, и потому в них тоже существует гидростатическое давление. 
1. Какое давление называют гидростатическим? 2. От каких величин зависит это давление? 3. Выведите формулу гидростатического давления на произвольном глубине. 4. Каким образом с помощью небольшого количества воды можно создать большое давление? Расскажите об опыте Паскаля.
Экспериментальное задание.
Возьмите высокий сосуд и сделайте в его стенке три небольших отверстия на разной высоте. Закройте отверстия пластилином и наполните сосуд водой. Откройте отверстия и проследите за струями вытекающей воды (рис. 100). Почему вода вытекает из отверстий? Из чего следует, что давление воды увеличивается с глубиной?
