Геометрический смысл производной задания егэ. Геометрический смысл производной

Эту статью начнем с обзора необходимых определений и понятий.

После этого перейдем к записи уравнения касательной прямой и приведем подробные решения самых характерных примеров и задач.

В заключении остановимся на нахождении уравнения касательной к кривым второго порядка, то есть, к окружности, эллипсу, гиперболе и параболе.

Навигация по странице.

Определения и понятия.

Определение.

Углом наклона прямой y=kx+b называют угол , отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс до прямой y=kx+b в положительном направлении (то есть, против часовой стрелки).

На рисунке положительное направление оси абсцисс показано горизонтальной зеленой стрелочкой, положительное направление отсчета угла изображено зеленой дугой, прямая показана синей линией, а угол наклона прямой - красной дугой.

Определение.

Угловым коэффициентом прямой y=kx+b называют числовой коэффициент k .

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой , то есть, .

Определение.

Прямую AB , проведенную через две точки графика функции y=f(x) , называют секущей . Другими словами, секущая – это прямая, проходящая через две точки графика функции.

На рисунке секущая прямая AB изображена синей линией, график функции y=f(x) - черной кривой, угол наклона секущей - красной дугой.

Если принимать во внимание, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона (об этом говорили выше), и тангенс угла в прямоугольном треугольнике ABC есть отношение противолежащего катета к прилежащему (это определение тангенса угла), то для нашей секущей будет справедлива серия равенств , где - абсциссы точек А и В , - соответствующие значения функции.

То есть, угловой коэффициент секущей определяется равенством или , а уравнение секущей записывается в виде или (при необходимости обращайтесь к разделу ).

Секущая прямая разбивает график функции на три части: слева от точки А , от А до В и справа от точки В , хотя может иметь более чем две общих точки с графиком функции.

На рисунке ниже приведены три фактически разных секущих (точки А и В различны), но они совпадают и задаются одним уравнением.

Нам ни разу не встречались разговоры о секущей прямой для прямой. Но все же, если отталкиваться от определения, то прямая и ее секущая прямая совпадают.

В некоторых случаях секущая может иметь с графиком функции бесконечное число точек пересечения. Например, секущая, определяемая уравнением y=0 , имеет бесконечное число общих точек с синусоидой.

Определение.

Касательной к графику функции y=f(x) в точке называют прямую, проходящую через точку , с отрезком которой практически сливается график функции при значениях х сколь угодно близких к .

Поясним это определение на примере. Покажем, что прямая y = x+1 является касательной к графику функции в точке (1; 2) . Для этого покажем графики этих функций при приближении к точке касания (1; 2) . Черным цветом показан график функции , касательная прямая показана синей линией, точка касания изображена красной точкой.

Каждый последующий рисунок является увеличенной областью предыдущего (эти области выделены красными квадратами).

Хорошо видно, что вблизи точки касания график функции практически сливается с касательной прямой y=x+1 .

А сейчас перейдем к более значимому определению касательной.

Для этого покажем, что будет происходить с секущей АВ , если точку В бесконечно приближать к точке А .

Рисунок ниже иллюстрирует этот процесс.

Секущая АВ (показана синей пунктирной прямой) будет стремиться занять положение касательной прямой (показана синей сплошной линией), угол наклона секущей (показан красной прерывистой дугой) будет стремиться к углу наклона касательной (изображен красной сплошной дугой).

Определение.

Таким образом, касательная к графику функции y=f(x) в точке А – это предельное положение секущей AB при .

Вот теперь можно переходить к оописанию геометрического смысла производной функции в точке.

Геометрический смысл производной функции в точке.

Рассмотрим секущую АВ графика функции y=f(x) такую, что точки А и В имеют соответственно координаты и , где - приращение аргумента. Обозначим через приращение функции. Отметим все на чертеже:

Из прямоугольного треугольника АВС имеем . Так как по определению касательная – это предельное положение секущей, то .

Вспомним определение производной функции в точке : производной функции y=f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , обозначается .

Следовательно, , где - угловой коэффициент касательной.

Таким образом, существование производной функции y=f(x) в точке эквивалентно существованию касательной к графику функции y=f(x) в точке касания , причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке , то есть .

Заключаем: геометрический смысл производной функции в точке состоит в существовании касательной к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной прямой.

Для записи уравнения любой прямой на плоскости достаточно знать ее угловой коэффициент и точку, через которую она проходит. Касательная прямая проходит через точку касания и ее угловой коэффициент для дифференцируемой функции равен значению производной в точке . То есть, из пункта мы можем взять все данные для записи уравнения касательной прямой.

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке имеет вид .

Мы подразумеваем, что существует конечное значение производной , в противном случае касательная прямая либо вертикальна (если и ), либо не существует (если ).

В зависимости от углового коэффициента , касательная может быть параллельна оси абсцисс (), параллельна оси ординат ( в этом случае уравнение касательной будет иметь вид ), возрастать () или убывать ().

Самое время привести несколько примеров для пояснения.

Пример.

Составить уравнение касательной к графику функции в точке (-1;-3) и определить угол наклона.

Решение.

Функция определена для всех действительных чисел (при необходимости обращайтесь к статье ). Так как (-1;-3) – точка касания, то .

Находим производную (для этого может пригодиться материал статьи дифференцирование функции, нахождение производной) и вычисляем ее значение в точке :

Так как значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной, а он равен тангенсу угла наклона, то .

Следовательно, угол наклона касательной равен , а уравнение касательной прямой имеет вид

Графическая иллюстрация.

Черным цветом показан график исходной функции, касательная прямая изображена синей линией, точка касания - красной точкой. Рисунок справа представляет собой увеличенную область, обозначенную красным пунктирным квадратом на рисунке слева.

Пример.

Выяснить, существует ли касательная к графику функции в точке (1; 1) , если да, то составить ее уравнение и определить угол ее наклона.

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел.

Находим производную:

При производная не определена, но и , следовательно, в точке (1;1) существует вертикальная касательная, ее уравнение имеет вид x = 1 , а угол наклона равен .

Графическая иллюстрация.

Пример.

Найти все точки графика функции , в которых:
a) касательная не существует; b) касательная параллельна оси абсцисс; c) касательная параллельна прямой .

Решение.

Как всегда начинаем с области определения функции. В нашем примере функция определена на всем множестве действительных чисел. Раскроем знак модуля, для этого рассмотрим два промежутка и :

Продифференцируем функцию:

При x=-2 производная не существует, так как односторонние пределы в этой точке не равны:

Таким образом, вычислив значение функции при x=-2 , мы можем дать ответ на пункт а) : , касательная к графику функции не существует в точке (-2;-2) .

b) Касательная параллельна оси абсцисс, если ее угловой коэффициент равен нулю (тангенс угла наклона равен нулю). Так как , то нам нужно найти все значения х , при которых производная функции обращается в ноль. Эти значения и будут абсциссами точек касания, в которых касательная параллельна оси Ox .

При решаем уравнение , а при - уравнение :

Осталось вычислить соответствующие значения функции:

Поэтому, - искомые точки графика функции.

Графическая иллюстрация.

График исходной функции изображен черной линией, красными точками отмечены найденные точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс.

c) Если две прямые на плоскости параллельны, то их угловые коэффициенты равны (об этом написано в статье ). Исходя из этого утверждения, нам нужно найти все точки графика функции, в которых угловой коэффициент касательной равен восьми пятым. То есть, нам нужно решить уравнение . Таким образом, при решаем уравнение , а при - уравнение .

Дискриминант первого уравнения отрицателен, следовательно, оно не имеет действительных корней:

Второе уравнение имеет два действительных корня:

Находим соответствующие значения функции:

В точках касательные к графику функции параллельны прямой .

Графическая иллюстрация.

График функции изображен черной линией, красной линией показан график прямой , синими линиями показаны касательные к графику функции в точках .

Для тригонометрических функций в силу их периодичности, может существовать бесконечно много касательных прямых, имеющих один угол наклона (одинаковый угловой коэффициент).

Пример.

Написать уравнения всех касательных к графику функции , которые перпендикулярны прямой .

Решение.

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции нам достаточно знать ее угловой коэффициент и координаты точки касания.

Угловой коэффициент касательных найдем из : произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно минус единице, то есть . Так как по условию угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен , то .

Приступим к нахождению координат точек касания. Для начала найдем абсциссы, затем вычислим соответствующие значения функции – это будут ординаты точек касания.

При описании геометрического смысла производной функции в точке мы отметили, что . Из этого равенства найдем абсциссы точек касания.

Мы пришли к тригонометрическому уравнению. Просим обратить на него внимание, так как позже мы его используем при вычислении ординат точек касания. Решаем его (при затруднениях обращайтесь к разделу решение тригонометрических уравнений ):

Абсциссы точек касания найдены, вычислим соответствующие ординаты (здесь используем равенство, на которое мы просили обратить внимание чуть выше):

Таким образом, - все точки касания. Следовательно, искомые уравнения касательных имеют вид:

Графическая иллюстрация.

На рисунке черной кривой показан график исходной функции на отрезке [-10;10] , синими линиями изображены касательные прямые. Хорошо видно, что они перпендикулярны красной прямой . Точки касания отмечены красными точками.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе.

До этого момента мы занимались нахождением уравнений касательных к графикам однозначных функций вида y = f(x) в различных точках. Канонические уравнения кривых второго порядка не являются однозначными функциями. Но окружность, эллипс, гиперболу и параболу мы можем представить комбинацией двух однозначных функций и уже после этого составлять уравнения касательных по известной схеме.

Касательная к окружности.

Окружность с центром в точке и радиусом R задается равенством .

Запишем это равенство в виде объединения двух функций:

Здесь первая функция соответствует верхней полуокружности, вторая - нижней.

Таким образом, чтобы составить уравнение касательной к окружности в точке , принадлежащей верхней (или нижней) полуокружности, мы находим уравнение касательной к графику функции (или ) в указанной точке.

Легко показать, что в точках окружности с координатами и касательные параллельны оси абсцисс и задаются уравнениями и соответственно (на рисунке ниже они показаны синими точками и синими прямыми), а в точках и - параллельны оси ординат и имеют уравнения и соответственно (на рисунке ниже они отмечены красными точками и красными прямыми).

Касательная к эллипсу.

Эллипс с центром в точке с полуосями a и b задается уравнением .

Эллипс также как и окружность можно задать объединением двух функций - верхнего и нижнего полуэллипса:

Касательные в вершинах эллипса параллельны либо оси абсцисс (на рисунке ниже изображены синими прямыми), либо оси ординат (на рисунке ниже изображены красными прямыми).

То есть, верхний полуэллипс задается функцией , а нижний - .

Теперь можем действовать по стандартному алгоритму для составления уравнения касательной к графику функции в точке.

Первая касательная в точке :

Вторая касательная в точке :

Графическая иллюстрация.

Касательная к гиперболе.

Гипербола с центром в точке и вершинами и задается равенством (рисунок ниже слева), а с вершинами и - равенством (рисунок ниже справа).

В виде объединения двух функций гипербола представима как

или .

В вершинах гиперболы касательные параллельны оси Оу для первого случая и параллельны оси Ох для второго.

Таким образом, для нахождения уравнения касательной к гиперболе, выясняем какой функции принадлежит точка касания, и действуем обычным образом.

Возникает логичный вопрос, как определить какой из функций принадлежит точка. Для ответа на него подставляем координаты в каждое уравнение и смотрим, какое из равенств обращается в тождество. Рассмотрим это на примере.

Пример.

Составьте уравнение касательной к гиперболе в точке .

Решение.

Запишем гиперболу в виде двух функций:

Выясним к какой функции принадлежит точка касания .

Для первой функции , следовательно, точка не принадлежит графику этой функции.

Для второй функции , следовательно, точка принадлежит графику этой функции.

Находим угловой коэффициент касательной:

Таким образом, уравнение касательной имеет вид .

Графическая иллюстрация.

Касательная к параболе.

Для составления уравнения касательной к параболе вида в точке пользуемся стандартной схемой, и уравнение касательной записываем как . Касательная к графику такой параболы в вершине параллельна оси Ох .

Параболу сначала зададим объединением двух функций. Для этого разрешим это уравнение относительно y :

Теперь выясняем к какой из функций принадлежит точка касания и действуем по стандартной схеме.

Касательная к графику такой параболы в вершине параллельна оси Оу ..

Для второй функции:

Получаем точку касания .

Таким образом, уравнение искомой касательной имеет вид .

Перед прочтением информации на текущей странице советуем посмотреть видео о производной и её геометрическом смысле

Также смотрите пример вычисления производной в точке

Касательной к линии l в точке М0 называется прямая М0Т — предельное положение секущей М0М, когда точка М стремится к М0 вдоль данной линии (т. е. угол устремится к нулю) произвольным образом.

Производной функции у = f{x) в точке x0 называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Производную функции у = f{x) в точке х0 и учебниках обозначают символом f"(x0). Следовательно, по определению

Термин «производная» (а также «вторая производная») ввел Ж. Лагранж (1797), к тому же он дал обозначения y’, f’(x), f”(x) (1770,1779). Обозначение dy/dx впервые встречается у Лейбница (1675).

Производная функции y = f(х) при х = xо равна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке Мо(хо, f(xо)), т. е.

где а - угол наклона касательной к оси Ох прямоугольной декартовой системы координат.

Уравнение касательной к линии у = f(x) в точке Мо(хо, уо) принимает вид

Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если f(x0) не равно 0, то уравнение нормали к линии у = f(x) в точке Мо(хо, уо) запишется так:

Физический смысл производной

Если x = f(t) — закон прямолинейного движения точки, то x’ = f’(t) - скорость этого движения в момент времени t. Быстрота протекания физических, химических и других процессов выражается с помощью производной .

Если отношение dy/dх при х->х0 имеет предел справа (или слева), то он называется производной справа (соответственно производной слева). Такие пределы называются односторонними производными .

Очевидно, функция f{x) определенная в некоторой окрестности точки х0, имеет производную f’{x) тогда и только тогда, когда односторонние производные существуют и равны между собой.

Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной к графику распространяется и на этот случай: касательная в данном случае параллельна оси Оу.

Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке данного промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке. Если промежуток является замкнутым, то на концах его имеются односторонние производные.

Операция нахождения производной называется .

Цели урока:

Учащиеся должны знать:

• что называется угловым коэффициентом прямой;
• углом между прямой и осью Ох;
• в чем состоит геометрический смысл производной;
• уравнение касательной к графику функции;
• способ построения касательной к параболе;
• уметь применять теоретические знания на практике.

Задачи урока:

Образовательные: создать условия для овладения учащимися системы знаний, умений и навыков с понятиями механический и геометрический смысл производной.

Воспитательные: формировать у учащихся научное мировоззрение.

Развивающие: развивать у учащихся познавательный интерес, творческие способности, волю, память, речь, внимание, воображение, восприятие.

Методы организации учебно-познавательной деятельности:

• наглядные;
• практические;
• по мыслительной деятельности: индуктивный;
• по усвоению материала: частично-поисковый, репродуктивный;
• по степени самостоятельности: лабораторная работа;
• стимулирующие: поощрения;
• контроля: устный фронтальный опрос.

План урока

1. Устные упражнения (найти производную)
2. Сообщение ученика на тему “Причины появления математического анализа”.
3. Изучение нового материала
4. Физ. Минутка.
5. Решение заданий.
6. Лабораторная работа.
7. Подведение итогов урока.
8. Комментирование домашнего задания.

Оборудование: мультимедийный проектор (презентация), карточки (лабораторная работа).

“Человек лишь там чего – то добивается, где он верит в свои силы”

Л. Фейербах

Организация класса в течение всего урока, готовность учащихся к уроку, порядок и дисциплина.

Постановка целей учения перед учащимися, как на весь урок, так и на отдельные его этапы.

Определить значимость изучаемого материала как в данной теме, так и во все курсе.

Устный счет

1. Найдите производные:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Логический тест.

а) Вставить пропущенное выражение.

Общее направление развития науки, в конечном счете, обусловлено требованиями практики человеческой деятельности. Существование древних государств со сложной иерархической системой управления было бы невозможно без достаточного развития арифметики и алгебры, ибо сбор податей, организация снабжения армии, строительство дворцов и пирамид, создание оросительных систем требовали выполнения сложных расчетов. В эпоху Возрождения расширяются связи между различными частями средневекового мира, развиваются торговля и ремесла. Начинается быстрый подъем технического уровня производства, промышленное применение получают новые источники энергии, не связанные с мускульными усилиями человека или животных. В XI-XII столетии появляются сукновальные и ткацкие станки, а в середине XV - печатный станок. В связи с потребностью в быстром развитии общественного производства в этот период изменяется сущность естественных наук, носивших со времен древности описательный характер. Целью естествознания становится углубленное изучение естественных процессов, а не предметов. Описательному естествознанию древности соответствовала математика, оперировавшая постоянными величинами. Необходимо было создать математический аппарат, который давал бы описание не результата процесса, а характера его течения и свойственных ему закономерностей. В итоге к концу XII столетия, Ньютон в Англии и Лейбниц в Германии завершили первый этап создания математического анализа. Что же такое “математический анализ”? Как можно охарактеризовать, предсказать особенности протекания любого процесса? Использовать эти особенности? Глубже проникать в сущность того или иного явления?

Пойдем по пути Ньютона и Лейбница и посмотрим, каким способом можно анализировать процесс, рассматривая его как функцию времени.

Введем несколько понятий, которые помогут нам в дальнейшем.

Графиком линей ной функции y=kx+ b является прямая, число k называют угловым коэффициентом прямой. k=tg, где – угол прямой, то есть угол между этой прямой и положительным направлением оси Ох.

Рисунок 1

Рассмотрим график функции у=f(х). Проведем секущую через любые две точки, например, секущую АМ. (Рис.2)

Угловой коэффициент секущей k=tg. В прямоугольном треугольнике АМС <МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Рисунок 2

Рисунок 3

Сам термин “скорость” характеризует зависимость изменения одной величины от изменения другой, и последняя необязательно должна быть временем.

Итак, тангенс угла наклона секущей tg = .

Нас интересует зависимость изменения величин в более короткий промежуток времени. Устремим приращение аргумента к нулю. Тогда правая часть формулы – производная функции в точке А (объясните почему). Если х –> 0, то точка М движется по графику к точке А, значит прямая АМ приближается к некоторой прямой АВ, которая является касательной к графику функции у = f(х) в точке А . (Рис.3)

Угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке.

Механический смысл производной.

Тангенс угла наклона касательной есть величина, показывающая мгновенную скорость изменения функции в данной точке, то есть новая характеристика изучаемого процесса. Эту величину Лейбниц назвал производной , а Ньютон говорил, что производной называется сама мгновенная скорость .

№91(1) стр 91 – показать на доске.

Угловой коэффициент касательной к кривой f(х) = х 3 в точке х 0 – 1 есть значение производной этой функции при х = 1. f’(1) = 3х 2 ; f’(1) = 3.

№91 (3,5) – под диктовку.

№92(1) – на доске по желанию.

№ 92 (3) – самостоятельно с устной проверкой.

№92 (5) – за доской.

Ответы: 45 0 , 135 0 , 1,5 е 2 .

Цель: отработка понятия “механический смысл производной”.

Приложения производной к механике.

Задан закон прямолинейного движения точки х = х(t), t.

1. Среднюю скорость движения на указанном отрезке времени;
2. Скорость и ускорение в момент времени t 04
3. Моменты остановки; продолжает ли точка после момента остановки двигаться в том же направлении или начинает двигаться в противоположном направлении;
4. Наибольшую скорость движения на указанном отрезке времени.

Работа выполняется по 12 вариантам, задания дифференцированы по уровню сложности (первый вариант - наименьший уровень сложности).

Перед началом работы беседа по вопросам:

1. Каков физический смысл производной перемещения? (Скорость).
2. Можно ли найти производную скорости? Используется ли эта величина в физике? Как она называется? (Ускорение).
3. Мгновенная скорость равна нулю. Что можно сказать о движении тела в это момент? (Это момент остановки).
4. Каков физический смысл следующих высказываний: производная движения равна нулю в точке t 0; при переходе через точку t 0 производная меняет знак? (Тело останавливается; меняется направление движения на противоположное).

Образец выполнения работы учащимся.

х(t)= t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2.

Рисунок 4

В противоположном направлении.

Начертим схематично график скорости. Наибольшая скорость достигается в точке

t=10, v (10) =3· 10 2 -4· 10 =300-40=260

Рисунок 5

1) В чем состоит геометрический смысл производной?
2) В чем состоит механический смысл производной?
3) Сделайте вывод о своей работе.

Стр.90. №91(2,4,6), №92(2,4,6,), стр. 92 №112.

Используемая литература

• Учебник Алгебра и начала анализа.
  Авторы: Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунина.
  Под редакцией А. Б. Жижченко.
• Алгебра 11 класс. Поурочные планы по учебнику Ш. А. Алимова, Ю. М. Колягина, Ю. В. Сидорова. Часть 1.
• Интернет-ресурсы: http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg

Произво́дная (функции в точке) - основное понятие дифференциального исчисления , характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю , если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием . Обратный процесс - нахождение первообразной - интегрирование .

Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой - вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.

4.Производная сложной и обратной функции.

Пусть теперь задана сложная функция , т.е. переменная есть функция переменной , а переменная есть, в свою очередь, функция от независимой переменной .

Теорема . Если и  дифференцируемые функции своих аргументов, то сложная функция является дифференцируемой функцией и ее производная равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента по независимой переменной:

.

Утверждение легко получается из очевидного равенства (справедливого при и ) предельным переходом при (что в силу непрерывности дифференцируемой функции влечет ).

Перейдем к рассмотрению производной обратной функции .

Пусть на множестве дифференцируемая функция имеет множество значений и на множестве существует обратная функция .

Теорема . Если в точке производная , то производная обратной функции в точке существует и равна обратной величине производной данной функции : , или

Эта формула легко получается из геометрических соображений.

Так как есть тангенс угла наклона касательной линии к оси , то есть тангенс угла наклона той же касательной (той же линии ) в той же точке к оси .

Если и острые, то , а если тупые, то .

В обоих случаях . Этому равенству и равносильно равенство

5.Геометрический и физический смысл производной.

1) Физический смысл производной.

Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная– скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке. Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная– скорость в момент времени. Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то– скорость изменения количества электричества в момент времени, т.е. сила тока в момент времени.

2) Геометрический смысл производной.

Пусть – некоторая кривая,– точка на кривой.

Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называется секущей.

Касательной к кривой в точкеназывается предельное положение секущей, если точкастремится к, двигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная

Рассмотрим кривую y = f(x) (т.е. график функции y = f(x)). Пусть в точке он имеет невертикальную касательную. Ее уравнение:(уравнение прямой, проходящей через точкуи имеющую угловой коэффициент k).

По определению углового коэффициента , где– угол наклона прямойк оси.

Пусть– угол наклона секущейк оси, где. Так как– касательная, то при

Следовательно,

Таким образом, получили, что– угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке(геометрический смысл производной функции в точке). Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точкеможно записать в виде

Тип задания: 7

Условие

Прямая y=3x+2 является касательной к графику функции y=-12x^2+bx-10. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания меньше нуля.

Решение

Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=-12x^2+bx-10, через которую проходит касательная к этому графику.

Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=-24x_0+b=3. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть -12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. Получаем систему уравнений \begin{cases} -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end{cases}

Решая эту систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания меньше нуля, поэтому x_0=-1, тогда b=3+24x_0=-21.

Ответ

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y=-3x+4 параллельна касательной к графику функции y=-x^2+5x-7. Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Угловой коэффициент прямой к графику функции y=-x^2+5x-7 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=-2x+5, значит, y"(x_0)=-2x_0+5. Угловой коэффициент прямой y=-3x+4, указанной в условии, равен -3. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что =-2x_0 +5=-3.

Получаем: x_0 = 4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Решение

По рисунку определяем, что касательная проходит через точки A(-6; 2) и B(-1; 1). Обозначим через C(-6; 1) точку пересечения прямых x=-6 и y=1, а через \alpha угол ABC (на рисунке видно, что он острый). Тогда прямая AB образует с положительным направлением оси Ox угол \pi -\alpha, который является тупым.

Как известно, tg(\pi -\alpha) и будет значением производной функции f(x) в точке x_0. Заметим, что tg \alpha =\frac{AC}{CB}=\frac{2-1}{-1-(-6)}=\frac15. Отсюда по формулам приведения получаем: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y=-2x-4 является касательной к графику функции y=16x^2+bx+12. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания больше нуля.

Решение

Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=16x^2+bx+12, через которую

проходит касательная к этому графику.

Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=32x_0+b=-2. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть 16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. Получаем систему уравнений \begin{cases} 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end{cases}

Решая систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания больше нуля, поэтому x_0=1, тогда b=-2-32x_0=-34.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=6.

Решение

Прямая y=6 параллельна оси Ox . Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 4 .

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y=4x-6 параллельна касательной к графику функции y=x^2-4x+9. Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Угловой коэффициент касательной к графику функции y=x^2-4x+9 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=2x-4, значит, y"(x_0)=2x_0-4. Угловой коэффициент касательной y=4x-7, указанной в условии, равен 4 . Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что 2x_0-4=4. Получаем: x_0=4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

Решение

По рисунку определяем, что касательная проходит через точки A(1; 1) и B(5; 4). Обозначим через C(5; 1) точку пересечения прямых x=5 и y=1, а через \alpha угол BAC (на рисунке видно, что он острый). Тогда прямая AB образует с положительным направлением оси Ox угол \alpha.