Системы лду с постоянными коэффициентами. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения

Как и в случае линейных уравнений высших порядков, наиболее полно разработаны вопросы нахождения фундаментальной системы решений для однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
(5.45)
или в матричной форме
y"=Ay. (5.45а)
Будем искать решение системы (5.45) в виде
y=αe rt = (α 1 , α 2 ,.., α n) T e rt = (α 1 e rt , α 2 e rt ,.., α n e rt) T (5.46)
Подставив это решение в (5.45), получаем равенство αre rt =Aαe rt , откуда, сокращая на e rt , можем записать αr = Aα или Aα-αr= Aα-Eαr = (A - rE)α =0. Последнее соотношение (A - rE)α =0 есть система для нахождения собственных чисел и собственных векторов матрицы A. Таким образом, y=αe rt - решение системы (5.45) тогда, когда r- собственное число, а α - ему соответствующий собственный вектор матрицы A. Возможны два случая: 1) все собственные числа различны; 2) есть кратные собственные числа. Разберём эти возможности по отдельности.
В первом случае имеем n решений

Эта система функций линейно независима, так как её определитель Вронского отличен от нуля. Действительно,


Так как система векторов α 1 , α 2 ,.., α n линейно независима, то получим n линейно независимых решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений.
Во втором случае возможны два варианта. Пусть для собственного числа r j кратности k имеется k линейно независимых собственных векторов α j 1 , α j 2 ,.., α jk Этот вариант ничем не отличается от предыдущего случая. Во втором варианте для собственного числа r j кратности k имеется меньше чем k линейно независимых собственных векторов. Имеется два способа получения совокупности n линейно независимых решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений. Первый основан на приведении матрицы к жордановой форме и изложен в . Второй называется методом Эйлера и заключается в том, что для собственного числа r j соответствующие решения находятся в виде y=P k -1 (t)e rjt где P k -1 (t) - вектор-функция, каждая координата которой есть полином степени не выше k-1 с неопределёнными коэффициентами, подлежащими определению. Подставляя это решение в (5.45), получаем соотношения для определения коэффициентов вектор-функции P k -1 (t).
Примеры
1. Для линейной системы дифференциальных уравнений матрица имеет собственные числа λ 1 =3 с соответствующим собственным вектором p 1 =(-1,1,3) T и λ 2,3 =-1 кратности 2 с собственными векторами p 2 =(1,1,0) T и p 3 =(2,0,-1) T . Поэтому фундаментальная система решений состоит из функций p 1 e 3 t , p 2 e - t , p 3 e - t , а общее решение имеет вид
.
2. Для системы дифференциальных уравнений матрица имеет собственные числа λ 1 =3 с соответствующим собственным вектором p 1 =(0,2,1) T и λ 2,3 =-1 кратности 2, которому соответствует только один собственный вектор p 2 = (-1,2,1) T . Поэтому линейно независимые решения, соответствующие собственному числу λ 2,3 =-1, ищем в виде
.
Подставляя эти соотношения в исходную систему и приводя подобные, получаем систему алгебраических уравнений

для нахождения чисел a,b,q,n,s,r. Решая эту систему, имеем b=-r,q=-2a, n=2r, s =r-a. Придавая свободным неизвестным значения a=C 2 , r=C 3 получаем общее решение исходной системы дифференциальных уравнений
.

(СОДУ), являющаяся линейной однородной с постоянными коэффициентами, имеет следующий вид: $\left\{\begin{array}{c} {y"_{1} =a_{11} \cdot y_{1} +a_{12} \cdot y_{2} +\ldots +a_{1n} \cdot y_{n} } \\ {y"_{2} =a_{21} \cdot y_{1} +a_{22} \cdot y_{2} +\ldots +a_{2n} \cdot y_{n} } \\ {\ldots } \\ {y"_{n} =a_{n1} \cdot y_{1} +a_{n2} \cdot y_{2} +\ldots +a_{nn} \cdot y_{n} } \end{array}\right. $.

Здесь $y_{1} \left(x\right),\; y_{2} \left(x\right),\; \ldots ,\; y_{n} \left(x\right)$ -- искомые функции независимой переменной $x$, коэффициенты $a_{jk} ,\; 1\le j,k\le n$ -- заданные действительные числа.

Для решения СОДУ такого вида применим метод исключения, состоящий в преобразовании её в одно дифференциальное уравнение (ДУ) $n$-го порядка, которое затем решим каким-либо из известных методов.

Задача 1

Решить систему ДУ $\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =2\cdot y_{1} +y_{2} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =3\cdot y_{1} +4\cdot y_{2} } \end{array}\right. $.

Шаг 1. Из первого уравнения находим $y_{2} $: $y_{2} =\frac{dy_{1} }{dx} -2\cdot y_{1} $.

\[\frac{dy_{2} }{dx} =3\cdot y_{1} +4\cdot \left(\frac{dy_{1} }{dx} -2\cdot y_{1} \right); \frac{dy_{2} }{dx} =4\cdot \frac{dy_{1} }{dx} -5\cdot y_{1} .\]

Шаг 3. Дифференцируем первое уравнение по $x$: $\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =2\cdot \frac{dy_{1} }{dx} +\frac{dy_{2} }{dx} $.

\[\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =2\cdot \frac{dy_{1} }{dx} +4\cdot \frac{dy_{1} }{dx} -5\cdot y_{1} ; \frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } -6\cdot \frac{dy_{1} }{dx} +5\cdot y_{1} =0. \]

1. характеристическое уравнение $k^{2} -6\cdot k+5=0$;
2. корни характеристического уравнения $k_{1} =1$, $k_{2} =5$ -- действительные, разные;
3. искомая функция $y_{1} =C_{1} \cdot e^{x} +C_{2} \cdot e^{5\cdot x} $.

1. производная $\frac{dy_{1} }{dx} =C_{1} \cdot e^{x} +5\cdot C_{2} \cdot e^{5\cdot x} $;

Общее решение данной системы:

Задача 2

Решить систему ДУ

$\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =3\cdot y_{1} -y_{2} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =4\cdot y_{1} -y_{2} } \end{array}\right. $.

Систему решаем исключением неизвестной функции $y_{2} $.

Шаг 1. Из первого уравнения находим $y_{2} $: $y_{2} =-\frac{dy_{1} }{dx} +3\cdot y_{1} $.

Шаг 2. Подставляем $y_{2} $ во второе уравнение:

\[\frac{dy_{2} }{dx} =4\cdot y_{1} +\frac{dy_{1} }{dx} -3\cdot y_{1} ; \frac{dy_{2} }{dx} =\frac{dy_{1} }{dx} +y_{1} .\]

Шаг 3. Дифференцируем первое уравнение по $x$: $\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =3\cdot \frac{dy_{1} }{dx} -\frac{dy_{2} }{dx} $.

Шаг 4. Подставляем выражение, полученное на шаге 2, в выражение, полученное на шаге 3:

\[\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =3\cdot \frac{dy_{1} }{dx} -\frac{dy_{1} }{dx} -y_{1} ; \frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } -2\cdot \frac{dy_{1} }{dx} +y_{1} =0. \]

Шаг 5. Решаем линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:

1. характеристическое уравнение $k^{2} -2\cdot k+1=0$;
2. корни характеристического уравнения $k_{1} =1$, $k_{2} =1$ -- действительные, равные;
3. искомая функция $y_{1} =C_{1} \cdot e^{x} +C_{2} \cdot x\cdot e^{x} $.

Шаг 6. Находим функцию $y_{2} $:

1. производная $\frac{dy_{1} }{dx} =C_{1} \cdot e^{x} +C_{2} \cdot \left(e^{x} +x\cdot e^{x} \right)$;
2. результат подстановки в выражение, полученное на шаге 1:

Общее решение данной системы:

Задача 3

Решить систему ДУ $\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =y_{1} -3\cdot y_{2} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =3\cdot y_{1} +y_{2} } \end{array}\right. $.

Систему решаем исключением неизвестной функции $y_{2} $.

Шаг 1. Из первого уравнения находим $y_{2} $: $y_{2} =\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{dy_{1} }{dx} +y_{1} \right)$.

Шаг 2. Подставляем $y_{2} $ во второе уравнение:

\[\frac{dy_{2} }{dx} =3\cdot y_{1} +\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{dy_{1} }{dx} +y_{1} \right); \frac{dy_{2} }{dx} =-\frac{1}{3} \cdot \frac{dy_{1} }{dx} +\frac{10}{3} \cdot y_{1} .\]

Шаг 3. Дифференцируем первое уравнение по $x$: $\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =\frac{dy_{1} }{dx} -3\cdot \frac{dy_{2} }{dx} $.

Шаг 4. Подставляем выражение, полученное на шаге 2, в выражение, полученное на шаге 3:

\[\frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } =\frac{dy_{1} }{dx} -3\cdot \left(-\frac{1}{3} \cdot \frac{dy_{1} }{dx} +\frac{10}{3} \cdot y_{1} \right); \frac{d^{2} y_{1} }{dx^{2} } -2\cdot \frac{dy_{1} }{dx} +10\cdot y_{1} =0. \]

Шаг 5. Решаем линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:

1. характеристическое уравнение $k^{2} -2\cdot k+10=0$;
2. корни характеристического уравнения $k_{1} =1+3\cdot i$, $k_{2} =1-3\cdot i$ -- комплексные;
3. искомая функция $y_{1} =e^{x} \cdot \left(C_{1} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)+C_{2} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)\right)$.

Шаг 6. Находим функцию $y_{2} $:

1. производная

$\frac{dy_{1} }{dx} =e^{x} \cdot \left(C_{1} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)+C_{2} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)\right)$+ \[+e^{x} \cdot \left(-3\cdot C_{1} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)+3\cdot C_{2} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)\right);\]

2. результат подстановки в выражение, полученное на шаге 1:
\ \[+\frac{1}{3} \cdot e^{x} \cdot \left(3\cdot C_{1} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)-3\cdot C_{2} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)\right)+\] \[+\frac{1}{3} \cdot e^{x} \cdot \left(C_{1} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)+C_{2} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)\right)=\] \[=e^{x} \cdot \left(C_{1} \cdot \sin \left(3\cdot x\right)-C_{2} \cdot \cos \left(3\cdot x\right)\right).\]

Общее решение данной системы:

Рассматриваются линейные системы нормального вида где а{- - любые числа, а /,(*) - известные функции. В векторной записи неизвестная, а /(*) - известная вектор-функции, А - любая постоянная матрица. Такие системы часто встречаются и в теории дифференциальных уравнений, и в приложениях. Общее решение такой системы в случае f(t) = 0 всегда выражается через элементарные функции. Поэтому такие системы часто применяются для исследования более сложных систем вблизи положения равновесия. В приложениях они появляются, например, при изучении движений в механических системах с несколькими степенями свободы и при описании токов в разветвленных электрических цепях. Путем исключения неизвестных систему можно свести к одному или нескольким уравнениям с одной неизвестной функцией в каждом. Для этого из какого-либо уравнения выражаем одно неизвестное через остальные и подставляем в остальные уравнения системы. Получаем систему с меньшим числом неизвестных. С ней можно поступить аналогично. Этот способ удобен для решения лишь несложных систем. Линейные системы с постоянными коэффициентами I Пример 20. Решить систему Решение примера. Исключаем у. Из первого уравнения имеем у = х" - t. Подставляя во второе уравнение, получаем. Решаем это уравнение методом § 11. Находим. Значит, 1 2. | Решение системы х" = Ах (х 6 Rn) в случае, когда матрица А порядка п имеет п линейно независимых собственных векторов. Так будет в случаях, когда или уравнение det (А-ХЕ) = 0 не имеет кратных корней А, или для каждого кратного корня Л ранг г матрицы А - \Е равен п - к, где к - кратность этого корня (так как уравнение (А - XE)v = 0 для собственных векторов v имеет п - г линейно независимых решений). Пусть А - собственное значение, a v - собственный вектор матрицы А. Тогда х = eMv - частное решение уравнения х1 = Аху так как. Если собственные векторы Vх,..., vn линейно независимы, то имеем решения. Они линейно независимы, так как их вронскиан W Ф 0 при t = 0 (его столбцы vl,..., vn линейно независимы). Следовательно, общее решение системы х* = Ах имеет вид - произвольные постоянные. Лемма 9. Если А{ = а + pi (fi Ф 0) - собственное значение вещественной матрицы A, a vl = (»{,... - собственный вектор для А1# то Aj = Х{ = а - pi - собственное значение, a v2 = v1 = (v},..., - собственный вектор для А2. Для вещественных Хр собственный вектор можно взять вещественным. Доказательство. Имеем Av{ = А^1. Равенство не нарушится, есдй в нем Х{ и координаты вектора v1 заменить сопряженными: Avl = Ajt;1, то есть Для вещественного Хр координаты собственного вектора определяются из системы и вещественными коэффициентами, поэтому вектор v можно взять вещественным Общее решение системы х" = Ах с вещественной матрицей А можно выразить через вещественные функции. Для этого надо взять такие собственные векторы, как в лемме 9, и затем заменить каждую пару комплексных сопряженных решений х1 = eAlV, х2 = eXltv2 парой вещественных решений как в. Получим вещественную фундаментальную систему решений и через нее выразим общее рёшение. I Пример 21. Решить систему Решение примера. Составляем и решаем характеристическое уравнение Линейные системы с постоянными коэффициентами Для находим собственный вектор (^j Можно взять Получаем частное решение Решениями данной системы являются вещественная и мнимая части этого частного решения: J Решение в общем случае. Упростим систему, приведя матрицу А к простейшей форме - жордановой. Известно, что для любой квадратной матрицы А существует такая неособая матрица С, что матрица В = С~[ АС - жорданова, то есть Клетки Ki могут быть любых размеров; в каждой клетке на всей диагонали стоит одно и то же число Af , а в разных клетках А(могут быть различны или одинаковы. Так как Поэтому матрицы С"1 АС и Л имеют одно и то же характеристическое уравнение, значит, одни и те же корни А^ с теми же кратностями. К системе ж" = Ах применяем линейное преобразование координат х = Су у то есть где матрица С та же, что выше. Получаем Умножая слева на С"1, имеем, то есть где матрица Б - жорданова. Если первая клетка имеет размер к х к, вторая - 1x1 и т.д., то в первые к уравнений системы у" = By входят только неизвестные у р..., у*, в следующие I уравнений - только неизвестные yt+1,..., ук+1, и т.д. Значит, система распадается на подсистемы, каждую из которых можно решать отдельно. Первая подсистема имеет вид (где А = Х{) Другие подсистемы отличаются только числами X и к. Сделав в замену, получаем Решая эту систему, начиная с последнего уравнения, находим Умножая на ex,t, получаем решение первой подсистемы Это решение - общее, так как получается из уравнений (73) с помощью тождественных преобразований. Решения других подсистем имеют подобный же вид, лишь числа к = к- и произвольные постоянные cf- будут другими (Лу - число А в j-ft клетке, к - ее размер). Собрав вместе решения всех подсистем, получаем общее решение всей системы у" = By. Возвращаясь от у к ж в силу (72) получаем такой результат. Теорема 16* Общее решение системы х" = Ах есть вектор-функция; у которой каждая координата xi имеет вид где Ар .., Ат - различные собственные значения матрицы А, - алгебраический многочлен, степень которого на 1 меньше размера наибольшей из жордановых клеток, содержащих А;. Коэффициенты многочленов ^(t) (» = 1,..., n; j = 1,..., m) зависят от n произвольных постоянных. Решение конкретной системы х" = Ах можно получить и без приведения матрицы А к жордановой форме. Для этого надо найти все собственные значения Л матрицы А из уравнения det (А - АЕ) - 0. Для каждого А надо найти число т линейно независимых собственных векторов по формуле т = п - г, где п - порядок матрицы А - ХЕ9 г - ее ранг. В случае т = ку где к - кратность корня А, этому корню соответствует решение где Ь!,...,Ь* - линейно независимые собственные векторы. Если матрица А - вещественная, то надо воспользоваться леммой 9 и сказанным после нее. В случае т надо искать решение х = (жр..., хп)Т в виде где 8 = к - пг. Подставляя эти выражения с буквенными коэффициентами а, Ь,... в данную систему, сокращая на е^ и приравнивая коэффициенты при подобных членах, получаем систему линейных алгебраических уравнений для отыскания чисел а, Ь,.... Надо найти общее решение этой системы, зависящее от к произвольных постоянных. (Заметим, что в случае к ^ 4 все старшие коэффициенты в многочленах иногда оказываются равными нулю, но это не мешает найти решение.) Проделав это для каждого А и сложив найденные решения, получим общее решение системы. Если матрица А вещественная, то достаточно проделать описанное только для вещественных корней и для одного из каждой пары комплексных сопряженных корней А = а ± pi {РФ 0), и от полученного решения взять вещественную и мнимую части. Например, из решения х1 = (cj +C2t)elt получаются два решения: u1 = Re хх - (cj + cjt) cos t и u2 = (C3 + cAt) sin t с новыми постоянными Cj,c4. (Обоснование такого метода требует детального анализа и изложено в , § 34.) I Пример 22. Решить систему Решение примера. Составляем и решаем характеристическое урав- нение Для простого корня А = -2 находим собственный вектор (а, р,7) Можно взять а = р = 2, 7 = -2. Имеем частное решение Для кратного корня Л2 3 = 1 находим ранг матрицы А - ХЕ, число m собственньЯТ векторов и степень в многочлена: Ищем решение в виде Подставляем это в данную систему и сокращаем на е*. Приравниваем коэффициенты при подобных членах, начиная со старших: Надо найти общее решение этой системы. Кратность корня Л = 1 равна 2, поэтому все неизвестные а,Ь,... должны выразиться через два из них (пока не знаем, через какие). Из первых трех уравнений имеем Ь = д = 2d. Подставляя в остальные уравнения, получаем Все неизвестные можно выразить через end. Имеем. Полагая d = Cj, с = Cj, получаем. Подставляя это в (77) и прибавляя частное решение (76), умноженное на су получаем общее решение системы: Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами. Решение такой системы всегда можно получить методом вариации постоянных (п. 5 §9). При этом используется интегрирование. Однако в случае, когда неоднородности f{(t) в системе (70) выражаются только через суммы и произведения функций atm, е7*, cos/3*, sin fit, частное решение системы можно найти без интегрирования - методом неопределенных коэффициентов, как показывается ниже. Так как решение системы х" = Ах + fl(t) +... + fr(t) равно сумме решений систем (xj)" = Axj + fj(t) (j = 1,..., г), а синусы и косинусы по формулам Эйлера выражаются через показательные функции, то достаточно указать вид частного решения системы х" = Ах + рфе7*, где p(t) - amtm + am_xtm~x +... + а0; ао» »ат - векторы. Сделав с этой системой те же преобразования, что в п. 3 с системой х1 = Ах, получаем вместо (74) систему где р*(£) - многочлены степени не выше т. Из этой сибтемы последовательно находим zk, zk_v..., zx. Возможны два случая. Если 7 - А Ф 0, то Jpl(t)eb-»dt = q где ql(t) - многочлен той же степени, что Здесь и далее постоянные интегрирования полагаем равными нулю, так как ищется частное решение. Аналогично отыскиваются zk_v... ,z{. Получаем * где q*(t) - многочлены степени не выше т. Если же 7 - Л = 0, то £ 1, и каждый раз интегрируется только многочлен. От этого его степень повышается на 1. После к интегрирований степень повышается на к. Значит, в этом случае где q*(t) - многочлены степени не выше т + к. Возвращаясь от функций z- к у(и затем к х-, получаем, что система имеет частное решение вида где q^t) - многочлен степени не выше т, если 7 не совпадает ни с одним из корней и степени не выше m + fy, если 7 совпадает с корнем А^.; число к-, равно размеру наибольшей из жордановых клеток, содержащих А;. Следовательно, kj на 1 больше наибольшей степени многочленов, умножаемых на ех"г в общем решении однородной системы. I Пример 23. Решить систему I L Решение примера. Общее решение однородной системы получено в примере 21, здесь А. 2 = 2 ± i. Для неоднородностей 4еи cos* числа 7 = 2и7 = 2 +t различны, поэтому надо решить две системы Для системы (79) 7 = 2^ А;, поэтому частное решение. Подставляя в (79), находим a = Ь = с = 1, d = 0. Значит В системе (80) заменяем 4e2*cos$ на 4е*2+|^. Число 4 рассматриваем как многочлен степени 0. Так как 7 = 2 + i = А, к = 1, то степень многочлена увеличивается на 1 и Подставляя в систему с отброшенным Re получаем Уравнения зависимы, решений много. Берем частное решение, например Общее решение системы х = х0 + х{ + ж2, у = у0 + у! + у2* где ж0, у0 - решение однородной системы (пример 21), а х{, у, х2, у2 найдены здесь. Задачи для упражнений: Линейные системы с постоянными коэффициентами I Системы уравнений, не приведенные к нормальному виду обладают свойствами, отличными от свойств систем вида (70). Согласно , § 11 все решения являются линейными комбинациями решений вида х = r(t)ext, у = s(f)eM, где Л - любой корень характеристического уравнения - многочлены, степень которых меньше кратности к корня А (если Л=1,тоги* - числа), Многочлены могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов. Аналогично решаются системы трех и более уравнений. См. задачи в , § 14, б» Известно много способов решения линейных систем с постоянными коэффициентами. Если известны не только числа А, но и базис, в котором матрица А имеет жорданову форму, то решение системы х" = Ах пишется в явном виде (, теорема 11; , § 14, п.З). Операционный метод решения линейных уравнений и систем с постоянными коэффициентами изложен в , §24. Известны условия существования периодического решения системы х1 = Ах 4- f{t) с периодической вектор-функцией f(t) (, гл. 4, §7, п.З).

Для решения рекуррентных соотношений общих правил не существует. Однако существует весьма часто встречающийся класс соотношений, решаемых единообразным методом. Это – рекуррентные соотношения вида

f(n + k) = a1 f(n + k − 1) + a2 f(n + k − 2) + ...

A k f(n) ,

где a1 , a2 ,..., a k - некоторые числа. Такие соотношения называются линейными рекуррентными соотношениями с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим, как решаются такие соотношения при k = 2 , то есть изучим соотношения вида

f(n + 2) = a1 f(n + 1) + a2 f(n) . (3)

Решение этих соотношений основано на следующих двух утверждениях:

1) Если f1(n) и f 2 (n) являются решениями рекуррентного соотношения (3), то при любых A и B последовательность

f(n) = Af1(n) + Bf2(n) также является решением этого соотношения. В самом деле, по условию имеем

f1(n + 2) = a1 f1(n + 1) + a2 f1(n) и

f2(n + 2) = a1 f2(n + 1) + a2 f2(n) .

Умножим эти равенства на A и B соответственно и сложим полученные тождества. Мы получим, что

Af1(n + 2) + Bf2(n + 2) = a1[ Af1(n + 1)+Bf2(n + 1)]+a2

Это означает, что f(n) = Af1(n)+Bf2(n) является решением нашего соотношения.

2) Если число r1 является корнем квадратного уравнения

то последовательность

1, r1 , r12 , ..., r1n −1 ,...

является решением рекуррентного соотношения

f(n + 2) = a1 f(n + 1) + a2 f(n)

Наряду с последовательностью { r1n −1 } любая последовательность

f(n) = r1n + m , n =1,2 ,... также является решением исследуемого соотношения.

Из утверждений 1) и 2) вытекает следующее правило решения линейных рекуррентных соотношений второго порядка с постоянными коэффициентами:

Пусть дано рекуррентное соотношение

f(n + 2) = a1 f(n + 1) + a2 f(n).

Составим квадратное уравнение

которое называется характеристическим для данного соотношения.

1. Если это уравнение имеет два различных корня r1 и r2 , то общее решение рекуррентного соотношения имеет вид

f(n) = C1 r1n −1 + C2 r2n − 2

2. если квадратное уравнение r2 = a1 r + a 2 имеет два совпадающих корня r1 = r2, то его общее решение имеет вид:

f(n) =C1 r1n −1 + C2 nr1n −1 = r1n −1 (C1 + C2n) .

Путем подбора C1 и C2 можно удовлетворить любым начальным условиям.

Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами, порядок которых больше двух, решаются таким же способом.

Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:

Еще по теме Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами.:

1. 17. Линейные однородные и неоднородные системы ДУ с постоянными коэффициентами
2. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
3. Линейная неоднородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
4. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
6. 22. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами однородные.
7. Линейные диф. ур. второго порядка с постоянными коэффициентами, их применение к изучению свободных и вынужденных колебаний.

Лекция 23.

Определение 23.1. Система дифференциальных уравнений называется линейной , если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.

В частности, система линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

Можно использовать матричную запись такой системы, если ввести матрицы

. Тогда системе (23.1) эквивалентно матричное уравнение . (23.2)

Если же рассмотреть линейный оператор , уравнение (23.2) примет вид:

Так как оператор L обладает свойствами линейности:

1) L [cX ] = cL [X ];

2) L [X 1 + X 2 ] = L [X 1 ] + L [X 2 ],

то для решений линейной однородной системы (23.3) (при F = 0) справедливы те же свойства: если Х 1 и Х 2 – решения однородного уравнения (23.3) , то и их линейная комбинация будет решением того же уравнения.

Можно ввести понятие линейной зависимости решений Х 1 , Х 2 ,…, Х п :

Определение 23.2. Векторы (столбцы) Х 1 , Х 2 ,…, Х п , где

, называются линейно зависимыми при , если существуют числа α 1 ,α 2 ,…, α п , не все равные нулю, что

α 1 Х 1 + α 2 Х 2 +…+ α п Х п ≡ 0 (23.4)

при . Если же тождество (23.4) справедливо только при всех α i = 0, векторы называются линейно независимыми .

Замечание. Назовем определителем Вронского для уравнения (23.4) определитель вида

, (23.5)

являющийся определителем системы уравнений, получаемых при координатной записи равенства (23.4). Можно показать, что так же, как и в случае решения линейного однородного уравнения, при W = 0 решения Х 1 , Х 2 ,…, Х п линейно зависимы на [a,b ]. Тогда справедлива следующая теорема:

Теорема 23.1. Линейная комбинация п линейно независимых решений линейной однородной системы является общим решением этой системы.

Будем искать фундаментальную систему решений линейной однородной системы с постоянными коэффициентами

(23.6)

в виде: , (23.7)

где α i – постоянные. Подставив (23.7) в (23.6) и сократив на e kt , получим:

. (23.8)

Для того, чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее главный определитель был равен нулю:

, (23.9)

что представляет собой уравнение п – й степени относительно k , называемое характеристическим .

Если все корни характеристического уравнения различны, то, подставляя их последовательно в систему (23.8), можно найти соответствующие им значения и тем самым п различных решений системы (23.6). Эти решения линейно независимы. Действительно, если бы существовали числа β 1 , β 2 ,…, β п такие, что

, то в силу линейной независимости функций отсюда следовало бы, что для каждого i. Но поскольку хотя бы одно из не равно нулю, получаем, что все . Следовательно, найденные решения (23.7) линейно независимы, и общее решение системы имеет вид: , (23.10)

где c i – произвольные постоянные.

Составим характеристическое уравнение:

k 1 = 1, k 2 =5. Для k = 1 получаем систему для определения : , то есть

Примем , тогда . При k = 5 ,

Тогда . Следовательно, общее решение системы имеет вид: .

В случае кратных корней характеристического уравнения решение системы (23.6) имеет вид

Где γ – кратность корня k s .

Характеристическое уравнение имеет вид:

k 1 = k 2 = 3. Пусть x = (c 1 + c 2 t )e 3 t , y = (c 3 + c 4 t )e 3 t . Выразим постоянные с 3 и с 4 через с 1 и с 2 . Для этого подставим найденные решения в одно из уравнений системы и приравняем коэффициенты при e 3 t и te 3 t : (3c 1 + c 2 + 3c 2 t )e 3 t = (2c 1 + c 3 )e 3 t + (2c 2 + c 4 )te 3 t , c 3 = c 1 + c 2 ,

c 4 = c 2 . Итак, общее решение системы получено в форме: x = (c 1 + c 2 t )e 3 t , y = (c 1 + с 2 + c 2 t )e 3 t .

Замечание. Для неоднородной системы (23.1) общим решением, так же как для неоднородного уравнения, будет сумма общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы. При подборе частных решений справедлив принцип суперпозиции.

. Найдем частное решение в виде: . При подстановке получим: , откуда А = 3, В = 1. Прибавив к полученному частному решению общее решение соответствующей однородной системы, запишем общее решение исходной системы: x = c 1 e t + 2c 2 e 4 t + 3e 5 t , y = -c 1 e t + c 2 e 4 t + e 5 t .

Лекция 24.

Устойчивость решений дифференциальных уравнений и их систем. Определение устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости. Автономные системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство (плоскость), фазовая траектория. Точки покоя. Классификация точек покоя системы двух однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Условия устойчивости точки покоя.

Поскольку при решении реальных задач с помощью дифференциальных уравнений начальные условия обычно являются результатами измерений и, следовательно, получены с некоторой погрешностью, очень важным является вопрос о том, как изменится решение уравнения при малом изменении начальных условий. В частности, если такие изменения существенно меняют решение, то подобное решение, очевидно, не имеет практической ценности.

Пусть некоторое явление описывается системой дифференциальных уравнений

(24.1)

с начальными условиями y i (t 0 ) = y i 0 .

Определение 24.1. Решение φ i (t ) (ǐ = 1,2,…,n ) называется устойчивым по Ляпунову , если

Такое, что для всякого решения y i (t) той же системы, начальные условия которого удовлетворяют неравенствам , для всех справедливы неравенства (24.2)

(то есть близкие по значениям решения остаются близкими для всех ).

Если хотя бы для одного решения y i (t) неравенства (24.2) не выполняются, решение φ i (t ) называется неустойчивым .

Если решение φ i (t ) не только устойчиво по Ляпунову, но и удовлетворяет условию

(24.3)

при , то это решение называется асимптотически устойчивым .

Замечание. Одно условие (24.3) не обеспечивает устойчивость решения.

Фазовая плоскость.

Дифференциальное уравнение второго порядка

(24.4)

равносильно системе уравнений первого порядка

. (24.5)

Геометрически общее решение уравнения (24.4) или системы (24.5) можно представить семейством фазовых траекторий на фазовой плоскости . Особенно удобно такое представление в случае, когда функция не содержит явным образом независимого переменного t . Тогда система (24.5) имеет вид

(24.6)

и называется автономной системой . Фазовые траектории в этом случае удовлетворяют дифференциальному уравнению первого порядка

которое каждой точке ставит в соответствие наклон проходящей через нее интегральной кривой.

Точки покоя.

Определение 24.2. Точка фазовой плоскости системы (24.6) называется обыкновенной точкой , если и дифференцируемы и не обращаются одновременно в нуль; через каждую обыкновенную точку проходит одна фазовая траектория. Точка называется особой точкой , если и .

Замечание. Особые точки классифицируются по характеру фазовых траекторий в их окрестности.

Исследование на устойчивость некоторого решения системы (24.1) можно свести к исследованию тривиального решения – точки покоя , расположенной в начале координат, преобразуя систему к новым переменным: - отклонениям прежних неизвестных от решения, исследуемого на устойчивость. В новых переменных система (24.1) принимает вид:

Простейшие типы точек покоя.

Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя х = 0, у = 0 системы двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами:

, где . (24.9)

Характеристическое уравнение при этом имеет вид:

Рассмотрим различные наборы корней этого уравнения:

1) k 1 и k 2 действительны и различны. Тогда общее решение системы (24.9) можно задать так: . При этом возможны следующие случаи:

а) если k 1 < 0 и k 2 < 0, то точка покоя асимптотически устойчива, так как , и все точки, находящиеся в начальный момент t = t 0 в любой δ – окрестности начала координат, при достаточно большом t переходят в точки, лежащие в сколь угодно малой ε – окрестности начала координат, а при стремятся к началу координат. Такая точка покоя называется устойчивым узлом .