Понятия и определения показательных уравнений. Решение показательных уравнений

Показательными называются уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Простейшее показательное уравнение имеет вид: а х = а b , где а> 0, а 1, х - неизвестное.

Основные свойства степеней, при помощи которых преобразуются показательные уравнения: а>0, b>0.

При решении показательных уравнений пользуются также следующими свойствами показательной функции: y = a x , a > 0, a1:

Для представления числа в виде степени используют основное логарифмическое тождество: b = , a > 0, a1, b > 0.

Задачи и тесты по теме "Показательные уравнения"

• Показательные уравнения

  Уроков: 4 Заданий: 21 Тестов: 1

• Показательные уравнения - Важные темы для повторения ЕГЭ по математике

  Заданий: 14

• Системы показательных и логарифмических уравнений - Показательная и логарифмическая функции 11 класс

  Уроков: 1 Заданий: 15 Тестов: 1

• §2.1. Решение показательных уравнений

  Уроков: 1 Заданий: 27

• §7 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства - Раздел 5. Показательная и логарифмическая функции 10 класс

  Уроков: 1 Заданий: 17

Для успешного решения показательных уравнений Вы должны знать основные свойства степеней, свойства показательной функции, основное логарифмическое тождество.

При решении показательных уравнений используют два основных метода:

1. переход от уравнения a f(x) = a g(x) к уравнению f(x) = g(x);
2. введение новых прямых.

Примеры.

1. Уравнения, сводящиеся к простейшим. Решаются приведением обеих частей уравнения к степени с одинаковым основанием.

3 x = 9 x – 2 .

Решение:

3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.

Ответ: 4.

2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения за скобки общего множителя.

Решение:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

Ответ: 3.

3. Уравнения, решаемые с помощью замены переменной.

Решение:

2 2x + 2 x – 12 = 0
Обозначаем 2 x = у.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3.
a) 2 x = - 4.Уравнение не имеет решений, т.к. 2 х > 0.
б) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Ответ: log 2 3.

4. Уравнения, содержащие степени с двумя различными (не сводящимися друг к другу) основаниями.

3 × 2 х + 1 - 2 × 5 х – 2 = 5 х + 2 х – 2 .

3× 2 х + 1 – 2 х – 2 = 5 х – 2 × 5 х – 2
2 х – 2 ×23 = 5 х – 2
×23
2 х – 2 = 5 х – 2
(5/2) х– 2 = 1
х – 2 = 0
х = 2.

Ответ: 2.

5. Уравнения, однородные относительно a x и b x .

Общий вид: .

9 x + 4 x = 2,5 × 6 x .

Решение:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Обозначим (3/2) x = y.
y 2 – 2,5y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½.

Ответ: log 3/2 2; - log 3/2 2.

1º. Показательными уравнениями называют уравнения, содержащие переменную в показателе степени.

Решение показательных уравнений основано на свойстве степени: две степени с одним и тем же основание равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

2º. Основные способы решения показательных уравнений :

1) простейшее уравнение имеет решение ;

2) уравнение вида логарифмированием по основанию a сводят к виду ;

3) уравнение вида равносильно уравнению ;

4) уравнение вида равносильно уравнению .

5) уравнение вида через замену сводят к уравнению , а затем решают совокупность простейших показательных уравнений ;

6) уравнение со взаимно обратными величинами заменой сводят к уравнению , а затем решают совокупность уравнений ;

7) уравнения, однородные относительно a g (x) и b g (x) при условии вида через замену сводят к уравнению , а затем решают совокупность уравнений .

Классификация показательных уравнений.

1. Уравнения, решаемые переходом к одному основанию .

Пример 18. Решить уравнение .

Решение: Воспользуемся тем, что все основания степеней являются степенями числа 5: .

2. Уравнения, решаемые переходом к одному показателю степени .

Эти уравнения решаются преобразованием исходного уравнения к виду , которое использованием свойства пропорции приводится к простейшему.

Пример 19. Решить уравнение:

3. Уравнения, решаемые вынесением общего множителя за скобки .

Если в уравнении каждый показатель степени отличается от другого на некоторое число, то уравнения решаются вынесением за скобки степени с наименьшим показателем.

Пример 20. Решить уравнение .

Решение: Вынесем в левой части уравнения степень с наименьшим показателем за скобки:

Пример 21. Решить уравнение

Решение: Сгруппируем отдельно в левой части уравнения слагаемые, содержащие степени с основанием 4, в правой части – с основанием 3, затем вынесем степени с наименьшим показателем за скобки:

4. Уравнения, сводящиеся к квадратным (или кубическим) уравнениям .

К квадратному уравнению относительно новой переменной y сводятся уравнения:

а) вида подстановкой , при этом ;

б) вида подстановкой , при этом .

Пример 22. Решить уравнение .

Решение: Сделаем замену переменной и решим квадратное уравнение:

.

Ответ: 0; 1.

5. Однородные относительно показательных функций уравнения.

Уравнение вида является однородным уравнением второй степени относительно неизвестных a x и b x . Такие уравнения сводятся предварительным делением обеих частей на и последующей подстановкой к квадратным уравнениям.

Пример 23. Решить уравнение .

Решение: Разделим обе части уравнения на :

Положив , получим квадратное уравнение с корнями .

Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений . Из первого уравнения находим, что . Второе уравнение не имеет корней, так как при любых значения x .

Ответ: -1/2.

6. Рациональные относительно показательных функций уравнения .

Пример 24. Решить уравнение .

Решение: Разделим числитель и знаменатель дроби на 3 x и получим вместо двух – одну показательную функцию:

7. Уравнения вида .

Такие уравнения с множеством допустимых значений (ОДЗ), определяемым условием , логарифмированием обеих частей уравнения приводятся к равносильному уравнению , которые в свою очередь равносильны совокупности двух уравнений или .

Пример 25. Решить уравнение: .

.

Дидактический материал.

Решите уравнения:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Найдите произведение корней уравнения .

27. Найдите сумму корней уравнения .

Найдите значение выражения:

28. , где x 0 – корень уравнения ;

29. , где x 0 – целый корень уравнения .

Решите уравнение:

31. ; 32. .

Ответы: 1. 0; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 5. 0; 6. 0; 7. -2; 8. 2; 9. 1, 3; 10. 8; 11. 5; 12. 1; 13. ¼; 14. 2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17. 0; 18. 1; 19. 0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23. 4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0.3; 27. 3; 28. 11; 29. 54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Тема №8.

Показательные неравенства.

1º. Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным неравенством.

2º. Решение показательных неравенств вида основано на следующих утверждениях:

если , то неравенство равносильно ;

если , то неравенство равносильно .

При решении показательных неравенств используют те же приемы, что и при решении показательных уравнений.

Пример 26. Решить неравенство (методом перехода к одному основанию ).

Решение: Так как , то заданное неравенство можно записать в виде: . Так как , то данное неравенство равносильно неравенству .

Решив последнее неравенство, получим .

Пример 27. Решить неравенство: (методом вынесения общего множителя за скобки ).

Решение: Вынесем за скобки в левой части неравенства , в правой части неравенства и разделим обе части неравенства на (-2), поменяв знак неравенства на противоположный:

Так как , то при переходе к неравенству показателей знак неравенства опять меняется на противоположный. Получаем . Таким образом, множество всех решений данного неравенства есть интервал .

Пример 28. Решить неравенство (методом введения новой переменной ).

Решение: Пусть . Тогда данное неравенство примет вид: или , решением которого является интервал .

Отсюда . Поскольку функция возрастает, то .

Дидактический материал.

Укажите множество решений неравенства:

1. ; 2. ; 3. ;

6. При каких значениях x точки графика функции лежат ниже прямой ?

7. При каких значениях x точки графика функции лежат не ниже прямой ?

Решите неравенство:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Укажите наибольшее целое решение неравенства .

14. Найдите произведение наибольшего целого и наименьшего целого решений неравенства .

Решите неравенство:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Найдите область определения функции:

27. ; 28. .

29. Найдите множество значений аргумента, при которых значения каждой из функций больше 3:

и .

Ответы: 11. 3; 12. 3; 13. -3; 14. 1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U{5}; 28. {a}=a^{\frac{1}{n}}\) получим, что \(\sqrt{3^3}=({3^3})^{\frac{1}{2}}\). Далее, используя свойство степени \((a^b)^c=a^{bc}\), получаем \({(3^3)}^{\frac{1}{2}}=3^{3 \cdot \frac{1}{2}}=3^{\frac{3}{2}}\).

\(3^{\frac{3}{2}}\cdot 3^{x-1}=(\frac{1}{3})^{2x}\)

Также мы знаем, что \(a^b·a^c=a^{b+c}\). Применив это к левой части, получим: \(3^{\frac{3}{2}}·3^{x-1}=3^{\frac{3}{2}+ x-1}=3^{1,5 + x-1}=3^{x+0,5}\).

\(3^{x+0,5}=(\frac{1}{3})^{2x}\)

Теперь вспомним, что: \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\). Эту формулу можно использовать и в обратную сторону: \(\frac{1}{a^n} =a^{-n}\). Тогда \(\frac{1}{3}=\frac{1}{3^1} =3^{-1}\).

\(3^{x+0,5}=(3^{-1})^{2x}\)

Применив свойство \((a^b)^c=a^{bc}\) к правой части, получим: \((3^{-1})^{2x}=3^{(-1)·2x}=3^{-2x}\).

\(3^{x+0,5}=3^{-2x}\)

И вот теперь у нас основания равны и нет никаких мешающих коэффициентов и т.д. Значит, можем делать переход.

Пример . Решить показательное уравнение \(4^{x+0,5}-5·2^x+2=0\)
Решение:

Ответ : \(-1; 1\).

Остается вопрос - как понять, когда какой метод применять? Это приходит с опытом. А пока вы его не наработали, пользуйтесь общей рекомендацией для решения сложных задач – «не знаешь, что делать – делай, что можешь». То есть, ищите как вы можете преобразовать уравнение в принципе, и пробуйте это делать – вдруг чего и выйдет? Главное при этом делать только математически обоснованные преобразования.

Показательные уравнения, не имеющие решений

Разберем еще две ситуации, которые часто ставят в тупик учеников:
- положительное число в степени равно нулю, например, \(2^x=0\);
- положительное число в степени равно отрицательному числу, например, \(2^x=-4\).

Давайте попробуем решить перебором. Если икс - положительное число, то с ростом икса вся степень \(2^x\) будет только расти:

\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).

\(x=0\); \(2^0=1\)

Тоже мимо. Остаются отрицательные иксы. Вспомнив свойство \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\), проверяем:

\(x=-1\); \(2^{-1}=\frac{1}{2^1} =\frac{1}{2}\)
\(x=-2\); \(2^{-2}=\frac{1}{2^2} =\frac{1}{4}\)
\(x=-3\); \(2^{-3}=\frac{1}{2^3} =\frac{1}{8}\)

Несмотря на то, что число с каждым шагом становится меньше, до нуля оно не дойдет никогда. Так что и отрицательная степень нас не спасла. Приходим к логичному выводу:

Положительное число в любой степени останется положительным числом.

Таким образом, оба уравнения выше не имеют решений.

Показательные уравнения с разными основаниями

В практике порой встречаются показательные уравнения с разными основаниями, не сводимыми к друг к другу, и при этом с одинаковыми показателями степени. Выглядят они так: \(a^{f(x)}=b^{f(x)}\), где \(a\) и \(b\) – положительные числа.

Например:

\(7^{x}=11^{x}\)
\(5^{x+2}=3^{x+2}\)
\(15^{2x-1}=(\frac{1}{7})^{2x-1}\)

Такие уравнения легко можно решить делением на любую из частей уравнения (обычно делят на правую часть, то есть на \(b^{f(x)}\). Так делить можно, потому что положительное число в любой степени положительно (то есть, мы не делим на ноль). Получаем:

\(\frac{a^{f(x)}}{b^{f(x)}}\) \(=1\)

Пример . Решить показательное уравнение \(5^{x+7}=3^{x+7}\)
Решение:

Ответ : \(-7\).

Иногда «одинаковость» показателей степени не очевидна, но умелое использование свойств степени решает этот вопрос.

Пример . Решить показательное уравнение \(7^{ 2x-4}=(\frac{1}{3})^{-x+2}\)
Решение:

Ответ : \(2\).

На данном уроке мы рассмотрим решение более сложных показательных уравнений, вспомним основные теоретические положения касательно показательной функции.

1. Определение и свойства показательной функции, методика решения простейших показательных уравнений

Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.

Показательная функция - это функция вида , где основание степени и Здесь х - независимая переменная, аргумент; у - зависимая переменная, функция.

Рис. 1. График показательной функции

На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большим нуля соответственно.

Обе кривые проходят через точку (0;1)

Свойства показательной функции :

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция монотонна, при возрастает, при убывает.

Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.

При когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности. При наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно.

2. Решение типовых показательных уравнений

Напомним, как решать простейшие показательные уравнения. Их решение основано на монотонности показательной функции. К таким уравнениям сводятся практически все сложные показательные уравнения.

Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено свойством показательной функции, а именно ее монотонностью.

Методика решения:

Уравнять основания степеней;

Приравнять показатели степеней.

Перейдем к рассмотрению более сложных показательных уравнений, наша цель - свести каждое из них к простейшему.

Освободимся от корня в левой части и приведем степени к одинаковому основанию:

Для того чтобы свести сложное показательное уравнение к простейшим, часто используется замена переменных.

Воспользуемся свойством степени:

Вводим замену. Пусть , тогда

Умножим полученное уравнение на два и перенесем все слагаемые в левую часть:

Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его. Получаем:

Приведем степени к одинаковому показателю:

Вводим замену:

Пусть , тогда . При такой замене очевидно, что у принимает строго положительные значения. Получаем:

Решать подобные квадратные уравнения мы умеем, выпишем ответ:

Чтобы удостовериться в правильности нахождения корней, можно выполнить проверку по теореме Виета, т. е. найти сумму корней и их произведение и сверить с соответствующими коэффициентами уравнения.

Получаем:

3. Методика решения однородных показательных уравнений второй степени

Изучим следующий важный тип показательных уравнений:

Уравнения такого типа называют однородными второй степени относительно функций f и g. В левой его части стоит квадратный трехчлен относительно f с параметром g или квадратный трехчлен относительно g с параметром f.

Методика решения:

Данное уравнение можно решать как квадратное, но легче поступить по-другому. Следует рассмотреть два случая:

В первом случае получаем

Во втором случае имеем право разделить на старшую степень и получаем:

Следует ввести замену переменных , получим квадратное уравнение относительно у:

Обратим внимание, что функции f и g могут быть любыми, но нас интересует тот случай, когда это показательные функции.

4. Примеры решения однородных уравнений

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

Поскольку показательные функции приобретают строго положительные значения, имеем право сразу делить уравнение на , не рассматривая случай, когда :

Получаем:

Вводим замену: (согласно свойствам показательной функции)

Получили квадратное уравнение:

Определяем корни по теореме Виета:

Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его, получаем:

Воспользуемся свойствами степени и приведем все степени к простым основаниям:

Несложно заметить функции f и g:

Поскольку показательные функции приобретают строго положительные значения, имеем право сразу делить уравнение на , не рассматривая случай, когда .

Приведены график и основные свойства экспоненты (е в степени х): область определения, множество значений, основные формулы, производная, интеграл, разложение в степенной ряд, действия с комплексными числами.

Определение

Частные значения

Пусть y(x) = e x . Тогда
.

Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .

Область определения, множество значений

Экспонента y(x) = e x определена для всех x .
Ее область определения:
- ∞ < x + ∞ .
Ее множество значений:
0 < y < + ∞ .

Экстремумы, возрастание, убывание

Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

Обратная функция

Обратной для экспоненты является натуральный логарифм .
;
.

Производная экспоненты

Производная е в степени х равна е в степени х :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Комплексные числа

Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера :
,
где есть мнимая единица:
.

Выражения через гиперболические функции

; ;
.

Выражения через тригонометрические функции

; ;
;
.

Разложение в степенной ряд

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.