Когда вы были маленькими и играли кубиками, то, возможно, складывали фигуры, изображенные на рисунке 154 . Эти фигуры дают представление о прямоугольном параллелепипеде . Форму прямоугольного параллелепипеда имеют, например, коробка конфет, кирпич, спичечный коробок, упаковочный ящик, пакет сока.
На рисунке 155 изображен прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .
Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью гранями . Каждая грань − это прямоугольник, т.е. поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников.
Стороны граней называют ребрами прямоугольного параллелепипеда , вершины граней − вершинами прямоугольного параллелепипеда . Например, отрезки AB, BC, A 1 B 1 − ребра, а точки B, A 1 , C 1 − вершины параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 155 ).
У прямоугольного параллелепипеда 8 вершин и 12 ребер.
Грани AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C не имеют общих вершин. Такие грани называют противолежащими . В параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 есть еще две пары противолежащих граней: прямоугольники ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 , а также прямоугольники AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C.
Противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда равны.
На рисунке 155 грань ABCD называют основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .
Площадью поверхности параллелепипеда называют сумму площадей всех его граней.
Чтобы иметь представление о размерах прямоугольного параллелепипеда, достаточно рассмотреть любые три ребра, имеющие общую вершину. Длины этих ребер называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Чтобы их различать, пользуются названиями: длина , ширина , высота (рис. 156 ).
Прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны, называют кубом (рис. 157 ). Поверхность куба состоит из шести равных квадратов.
Если коробку, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, открыть (рис. 158 ) и разрезать по четырем вертикальным ребрам (рис. 159 ), а затем развернуть, то получим фигуру, состоящую из шести прямоугольников (рис. 160 ). Эту фигуру называют разверткой прямоугольного параллелепипеда .
На рисунке 161 изображена фигура, состоящая из шести равных квадратов. Она является разверткой куба.
С помощью развертки можно изготовить модель прямоугольного параллелепипеда.
Это можно сделать, например, так. Начертить на бумаге его развертку. Вырезать ее, согнуть по отрезкам, соответствующим ребрам прямоугольного параллелепипеда (см. рис. 159 ), и склеить.
Прямоугольный параллелепипед является видом многогранника − фигуры, поверхность которой состоит из многоугольников. На рисунке 162 изображены многогранники.
Одним из видов многогранника является пирамида .
Эта фигура для вас не нова. Изучая курс Древнего мира, вы познакомились с одним из семи чудес света − египетскими пирамидами.
На рисунке 163 изображены пирамиды MABC, MABCD, MABCDE. Поверхность пирамиды состоит из боковых граней − треугольников, имеющих общую вершину, и основания (рис. 164 ). Общую вершину боковых граней называют ребрами основания пирамиды , а стороны боковых граней, не принадлежащие основанию, − боковыми ребрами пирамиды .
Пирамиды можно классифицировать по количеству сторон основания: треугольная, четырехугольная, пятиугольная (см. рис. 163 ) и т.д.
Поверхность треугольной пирамиды состоит из четырех треугольников. Любой из этих треугольников может служить основанием пирамиды. Это основание вид пирамиды, любая грань которой может служить ее основанием.
На рисунке 165 изображена фигура, которая может служить разверткой четырехугольной пирамиды . Она состоит из квадрата и четырех равных равнобедренных треугольников.
На рисунке 166 изображена фигура, состоящая из четырех равных равносторонних треугольников. С помощью этой фигуры можно сделать модель треугольной пирамиды, у которой все грани − равносторонние треугольники.
Многогранники являются примерами геометрических тел .
На рисунке 167 изображены знакомые вам геометрические тела, не являющиеся многогранниками. Более подробно с этими телами вы познакомитесь в 6 классе.
В переводе с греческого языка параллелограмм означает плоскость. Параллелепипед – это призма, в основании которой лежит параллелограмм. Существуют пять типов параллелограмма: наклонный, прямой и прямоугольный параллелепипед. Куб и ромбоэдр также относятся к параллелепипеду и являются его разновидностью.
Перед тем как перейти к основным понятиям, дадим некоторые определения:
- Диагональю параллелепипеда является отрезок, который объединяет вершины параллелепипеда, находящиеся напротив друг друга.
- Если две грани имеют общее ребро, то можно назвать их смежными ребрами. Если же общего ребра нет, то грани именуются противоположными.
- Две вершины, не лежащие на одной грани, именуются противоположными.
Какие свойства имеет параллелепипед?
- Лежащие на противоположных сторонах грани параллелепипеда параллельны друг другу и равны между собой.
- Если провести диагонали из одной вершины в другую, то точка пересечения этих диагоналей разделит их пополам.
- Стороны параллелепипеда лежащие под одним и тем же углом к основанию будут равны. Другими словами, углы сонаправленных сторон будут равны между собой.
Какие виды параллелепипеда бывают?
Теперь разберёмся в том, какие параллелепипеды бывают. Как уже упомянуто выше, существует несколько типов этой фигуры: прямой, прямоугольный, наклонный параллелепипед, а также куб и ромбоэдр. Чем же они отличаются между собой? Все дело в образующих их плоскостях и углах, которые они образуют.
Разберемся более подробно с каждым из перечисленных видов параллелепипеда.
- Как уже понятно из названия, наклонный параллелепипед имеет наклонные грани, а именно такие грани, которые находятся по отношению к основанию не под углом 90 градусов.
- А вот у прямого параллелепипеда угол между основанием и гранью как раз составляет девяносто градусов. Именно по этой причине этот вид параллелепипеда имеет такое название.
- Если же все грани параллелепипеда – это одинаковые квадраты, то можно считать эту фигуру кубом.
- Прямоугольный параллелепипед получил такое название из-за образующих его плоскостей. Если все они являются прямоугольниками (и основание в том числе), то это прямоугольный параллелепипед. Такой вид параллелепипеда встречается не так часто. В переводе с греческого ромбоэдр означает грань или основание. Так называют трехмерную фигуру, у которой гранями являются ромбы.
Основные формулы для параллелепипеда
Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на его высоту, перпендикулярную основанию.
Площадь боковой поверхности будет равна произведению периметра основания на высоту.
Зная основные определения и формулы можно вычислить площадь основания и объём. Основание можно выбрать по своему усмотрению. Однако, как правило, в качестве основания используется прямоугольник.
На этом уроке все желающие смогут изучить тему «Прямоугольный параллелепипед». В начале урока мы повторим, что такое произвольный и прямой параллелепипеды, вспомним свойства их противоположных граней и диагоналей параллелепипеда. Затем рассмотрим, что такое прямоугольный параллелепипед, и обсудим его основные свойства.
Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей
Урок: Прямоугольный параллелепипед
Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 и четырех параллелограммов АВВ 1 А 1 , ВСС 1 В 1 , СDD 1 С 1 , DАА 1 D 1 , называется параллелепипедом (рис. 1).
Рис. 1 Параллелепипед
То есть: имеем два равных параллелограмма АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 (основания), они лежат в параллельных плоскостях так, что боковые ребра АА 1 , ВВ 1 , DD 1 , СС 1 параллельны. Таким образом, составленная из параллелограммов поверхность называется параллелепипедом .
Таким образом, поверхность параллелепипеда - это сумма всех параллелограммов, из которых составлен параллелепипед.
1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
(фигуры равны, то есть их можно совместить наложением)
Например:
АВСD = А 1 В 1 С 1 D 1 (равные параллелограммы по определению),
АА 1 В 1 В = DD 1 С 1 С (так как АА 1 В 1 В и DD 1 С 1 С - противоположные грани параллелепипеда),
АА 1 D 1 D = ВВ 1 С 1 С (так как АА 1 D 1 D и ВВ 1 С 1 С - противоположные грани параллелепипеда).
2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Диагонали параллелепипеда АС 1 , В 1 D, А 1 С, D 1 В пересекаются в одной точке О, и каждая диагональ делится этой точкой пополам (рис. 2).
Рис. 2 Диагонали параллелепипеда пересекаются и деляться точкой пересечения пополам.
3. Имеются три четверки равных и параллельных ребер параллелепипеда : 1 - АВ, А 1 В 1 , D 1 C 1 , DC, 2 - AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, 3 - АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 .
Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны основаниям.
Пусть боковое ребро АА 1 перпендикулярно основанию (рис. 3). Это означает, что прямая АА 1 перпендикулярна прямым АD и АВ, которые лежат в плоскости основания. А, значит, в боковых гранях лежат прямоугольники. А в основаниях лежат произвольные параллелограммы. Обозначим, ∠BAD = φ, угол φ может быть любым.
Рис. 3 Прямой параллелепипед
Итак, прямой параллелепипед - это параллелепипед, в котором боковые ребра перпендикулярны основаниям параллелепипеда.
Определение. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. Основания являются прямоугольниками.
Параллелепипед АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 - прямоугольный (рис. 4), если:
1. АА 1 ⊥ АВСD (боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть параллелепипед прямой).
2. ∠ВАD = 90°, т. е. в основании лежит прямоугольник.
Рис. 4 Прямоугольный параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда. Но есть дополнительные свойства, которые выводятся из определения прямоугольного параллелепипеда.
Итак, прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию. Основание прямоугольного параллелепипеда - прямоугольник .
1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.
АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 - прямоугольники по определению.
2. Боковые ребра перпендикулярны основанию . Значит, все боковые грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.
3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.
Рассмотрим, например, двугранный угол прямоугольного параллелепипеда с ребром АВ, т. е. двугранный угол между плоскостями АВВ 1 и АВС.
АВ - ребро, точка А 1 лежит в одной плоскости - в плоскости АВВ 1 , а точка D в другой - в плоскости А 1 В 1 С 1 D 1 . Тогда рассматриваемый двугранный угол можно еще обозначить следующим образом: ∠А 1 АВD.
Возьмем точку А на ребре АВ. АА 1 - перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВВ- 1 , AD перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВС. Значит, ∠А 1 АD - линейный угол данного двугранного угла. ∠А 1 АD = 90°, значит, двугранный угол при ребре АВ равен 90°.
∠(АВВ 1 , АВС) = ∠(АВ) = ∠А 1 АВD= ∠А 1 АD = 90°.
Аналогично доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Примечание. Длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда, являются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Их иногда называют длина, ширина, высота.
Дано: АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 - прямоугольный параллелепипед (рис. 5).
Доказать: .
Рис. 5 Прямоугольный параллелепипед
Доказательство:
Прямая СС 1 перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой АС. Значит, треугольник СС 1 А - прямоугольный. По теореме Пифагора:
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора:
Но ВС и AD - противоположные стороны прямоугольника. Значит, ВС = AD. Тогда:
Так как , а , то. Поскольку СС 1 = АА 1 , то что и требовалось доказать.
Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
Обозначим измерения параллелепипеда АВС как a, b, c (см. рис. 6), тогда АС 1 = СА 1 = В 1 D = DВ 1 =
