Введение
Современный этап развития человечества отличается тем, что на смену века энергетики приходит век информатики. Происходит интенсивное внедрение новых технологий во все сферы человеческой деятельности. Встает реальная проблема перехода в информационное общество, для которого приоритетным должно стать развитие образования. Изменяется и структура знаний в обществе. Все большее значение для практической жизни приобретают фундаментальные знания, способствующие творческому развитию личности. Важна и конструктивность приобретаемых знаний, умение их структурировать в соответствии с поставленной целью. На базе знаний формируются новые информационные ресурсы общества. Формирование и получение новых знаний должно базироваться на строгой методологии системного подхода, в рамках которого отдельное место занимает модельный подход. Возможности модельного подхода крайне многообразны как по используемым формальным моделям, так и по способам реализации методов моделирования. Физическое моделирование позволяет получить достоверные результаты для достаточно простых систем.
В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Особенно это относится к сфере управления различными системами, где основными являются процессы принятия решений на основе получаемой информации.
1. Постановка задачи
минимум целевая функция
Решить задачу нахождения минимума целевой функции для системы ограничений, заданной многоугольником решений в соответствии с вариантом №16 задания. Многоугольник решений представлен на рисунке 1:
Рисунок 1 - Многоугольник решений задачи
Система ограничений и целевая функция задачи представлены ниже:
Необходимо решить задачу, используя следующие методы:
Графический метод решения задач ЛП;
Алгебраический метод решения задач ЛП;
Симплекс-метод решения задач ЛП;
Метод отыскания допустимого решения задач ЛП;
Решение двойственной задачи ЛП;
Метод «ветвей и границ» решения целочисленных задач ЛП;
Метод Гомори решения целочисленных задач ЛП;
Метод Балаша решения булевских задач ЛП.
Сравнить результаты решения разными методами сделать соответствующие выводы по работе.
2. Графическое решение задачи линейного программирования
Графический метод решения задач линейного программирования применяется в тех случаях, когда число неизвестных не превышает трех. Удобен для качественного исследования свойств решений и применяется совместно с другими методами (алгебраическим, ветвей и границ и т. д.). Идея метода основана на графическом решении системы линейных неравенств.
Рис. 2 Графическое решение задачи ЛП
Точка минимума
Уравнение прямой проходящей через две точки A1 и A2:
АВ: (0;1); (3;3)
ВС: (3;3); (4;1)
CD: (4;1); (3;0)
EА: (1;0); (0;1)
ЦФ: (0;1); (5;2)
при ограничениях:
Решение задачи линейного программирования алгебраическим симплекс-методом
Применение алгебраического метода решения задачи требует обобщения представления задачи ЛП. Исходную систему ограничений, заданную в виде неравенств преобразуют к стандартной форме записи, когда ограничения заданы в виде равенств. Преобразование системы ограничений к стандартному виду включает в себя следующие этапы:
Преобразовать неравенства таким образом, чтобы слева находились переменные и свободные члены, а справа - 0 т.е. чтобы левая часть была больше или равной нулю;
Ввести дополнительные переменные, число которых равно числу неравенств в системе ограничений;
Введя дополнительные ограничения на неотрицательность добавленных переменных, заменить знаки неравенств на знаки строгих равенств.
При решении задачи ЛП алгебраическим методом добавляется условие: целевая функция должна стремиться к минимуму. Если данное условие не выполняется, необходимо соответствующим образом преобразовать целевую функцию (умножить на -1) и решать задачу минимизации. После того, как решение найдено, подставить значения переменных в исходную функцию и посчитать ее значение.
Решение задачи при использовании алгебраического метода считается оптимальным, когда значения всех, базисных переменных - неотрицательно, и коэффициенты при свободных переменных в уравнении целевой функции также неотрицательны. Если эти условия не выполняются, необходимо преобразовать систему неравенств, выражая одни переменные через другие (меняя свободные и базисные переменные) добиться выполнения вышеприведенных ограничений. Значение всех свободных переменных считается равным нулю.
Алгебраический метод решения задач линейного программирования является одним из самых эффективных методов при решении задач небольшой размерности вручную т.к. не требует большого числа арифметических вычислений. Машинная реализация этого метода сложнее, чем, например, для симплекс-метода, т.к. алгоритм решения алгебраическим методом является в какой то степени эвристическим и эффективность решения во многом зависит от личного опыта.
Свободных переменных
св.пер. - доп. набор
Условия не отрицательности выполнены, следовательно, найдено оптимальное решение.
3. Решение задачи линейного программирования с использованием симплекс-таблицы
Решение: Приведем задачу к стандартному виду для решения с помощью симплекс-таблицы.
Все уравнения системы приведем к виду:
Строим симплекс-таблицу:
В верхний угол каждой клетки таблицы вписываем коэффициенты из системы уравнений;
Выбираем максимальный положительный элемент в строке F, кроме, это будет генеральный столбец;
Для того, чтобы найти генеральный элемент строим отношение для всех положительных. 3/3; 9/1;- минимальное соотношение в строке x3. Следовательно - генеральная строка и =3 - генеральный элемент.
Находим =1/=1/3. Вносим в нижний угол клетки, где находится генеральный элемент;
Во все незаполненные нижние углы генеральной строки вносим произведение значения в верхнем углу клетки на;
Выделяем верхние углы генеральной строки;
Во все нижние углы генерального столбца заносим произведение значения в верхнем углу на - и выделяем полученные значения;
Остальные клетки таблицы заполняются, как произведения соответствующих выделенных элементов;
Затем строим новую таблицу, в которой обозначения клеток элементов генерального столбца и строки меняются местами (x2 и x3);
В верхний угол бывших генеральных строки и столбца записываются значения, которые до этого были в нижнем углу;
В верхний угол остальных клеток записывается сумма значений верхнего и нижнего угла этих клеток в предыдущей таблице
4. Решение задачи линейного программирования методом отыскания допустимого решения
Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:
Можно предположить, что все, в противном случае умножаем соответствующее уравнение на -1.
Вводим вспомогательные переменные:
Вводим так же вспомогательную функцию
Будем минимизировать систему при ограничениях (2) и условиях.
ПРАВИЛО ОТЫСКАНИЯ ДОПУСТИМОГО РЕШЕНИЯ: Для отыскания допустимого решения системы (1) минимизируем форму (3) при ограничениях (2), в качестве свободных неизвестных берем xj, в качестве базисных.
При решении задачи симплекс-методом могут возникнуть два случая:
min f=0, тогда все i обязаны быть равными нулю. А получившиеся значения xj будут составлять допустимое решение системы (1).
min f>0, т.е. исходная система не имеет допустимого решения.
Исходная система:
Используется условие задачи предыдущей темы.
Внесем дополнительные переменные:
Найдено допустимое решение исходной задачи: х1 = 3, х2 = 3, F = -12. Основываясь на полученном допустимом решении найдем оптимальное решение исходной задачи, пользуясь симплекс-методом. Для этого построим новую симплекс-таблицу из таблицы полученной выше, удалив строку и строку с целевой функцией вспомогательной задачи:
Анализируя построенную симплекс-таблицу, видим, что оптимальное решение для исходной задачи уже найдено (элементы в строке, соответствующей целевой функции, отрицательны). Таким образом, допустимое решение, найденное при решении вспомогательной задачи совпадает с оптимальным решением исходной задачи:
6. Двойственная задача линейного программирования
Исходная система ограничений и целевая функция задачи показаны на рисунке ниже.
при ограничениях:
Решение: Приведем систему ограничений к стандартному виду:
Задача, двойственная данной будет иметь вид:
Решение двойственной задачи будет выполняться простым симплекс-методом.
Преобразуем целевую функцию так, чтобы решалась задача минимизации, и запишем систему ограничений в стандартной форме для решения симплекс-методом.
y6 = 1 - (-2 y1 + 2y2 +y3 + y4+ y5)
y7 = 5 - (-3y1 - y2 + y3 + y4)
Ф = 0 - (3y1 + 9y2 + 3y3 + y4) ??min
Построим исходную симплекс-таблицу для решения двойственной задачи ЛП.
Второй шаг симплекс-метода
Итак, на третьем шаге симплекс-метода найдено оптимальное решение задачи минимизации со следующими результатами: y2 = -7 /8, y1 = -11/8, Ф = 12. Для того, чтобы найти значение целевой функции двойственной задачи, подставим найденные значения базисных и свободных переменных в функцию максимизации:
Фmax = - Фmin = 3*(-11/8) + 9(-7/8) + 3*0 + 0 = -12
Так как значение целевой функции прямой и двойственной задач совпадают, решение прямой задачи найдено и равно 12.
Fmin = Фmax = -12
7. Решение задачи целочисленного линейного программирования методом «ветвей и границ»
Преобразуем исходную задачу таким образом, чтобы не выполнялось условие целочисленности при решении обычными методами.
Исходный многоугольник решений задачи целочисленного программирования.
Для преобразованного многоугольника решений построим новую систему ограничений.
Запишем систему ограничений в виде равенств, для решения алгебраическим методом.
В результате решения найден оптимальный план задачи: х1 =9/4, х2 = 5/2, F =-41/4. Это решения не отвечает условию целочисленности, поставленному в задаче. Разобьем исходный многоугольник решений на две области, исключив из него область 3 Измененный многоугольник решений задачи Составим новые системы ограничений для образовавшихся областей многоугольника решений. Левая область представляет собой четырехугольник (трапецию). Система ограничений для левой области многоугольника решений представлена ниже. Система ограничений для левой области Правая область представляет собой точку С. Система ограничений для правой области решений представлена ниже. Новые системы ограничений представляют из себя две вспомогательные задачи, которые необходимо решить независимо друг от друга. Решим задачу целочисленного программирования для левой области многоугольника решений. В результате решения найден оптимальный план задачи: х1 = 3, х2 = 3, F = -12. Этот план удовлетворяет условию целочисленности переменных в задаче и может быть принят в качестве оптимального опорного плана для исходной задачи целочисленного линейного программирования. Проводить решение для правой области решений нет смысла. На рисунке ниже представлен ход решения целочисленной задачи линейного программирования в виде дерева. Ход решения целочисленной задачи линейного программирования методом Гомори. Во многих практических приложениях представляет большой интерес задача целочисленного программирования, в которой дана система линейных неравенств и линейная форма Требуется найти целочисленное решение системы (1), которое минимизирует целевую функцию F, причем, все коэффициенты - целые. Один из методов решения задачи целочисленного программирования предложен Гомори. Идея метода заключается в использовании методов непрерывного линейного программирования, в частности, симплекс-метода. 1)Определяется с помощью симплекс-метода решение задачи (1), (2), у которой снято требование целочисленности решения; если решение оказывается целочисленным, то искомое решение целочисленной задачи будет также найдено; 2) В противном случае, если некоторая координата - не целая, полученное решение задачи проверяется на возможность существования целочисленного решения (наличие целых точек в допустимом многограннике): если в какой-либо строке с дробным свободным членом, все остальные коэффициенты окажутся целыми, то в допустимом многограннике нет целых, точек и задача целочисленного программирования решения не имеет; В противном случае вводится дополнительное линейное ограничение, которое отсекает от допустимого многогранника часть, бесперспективную для поиска решения задачи целочисленного программирования; 3) Для построения дополнительного линейного ограничения, выбираем l-тую строку с дробным свободным членом и записываем дополнительное ограничение где и - соответственно дробные части коэффициентов и свободного члена. Введем в ограничение (3) вспомогательную переменную: Определим коэффициенты и, входящие в ограничение (4): где и - ближайшие целые снизу для и соответственно. Гомори доказал, что конечное число подобных шагов приводит к такой задаче линейного программирования, решение которой будет целочисленным и, следовательно, искомым. Решение: Приведем систему линейных ограничений и функцию цели к канонической форме: Определим оптимальное решение системы линейных ограничений, временно отбросив условие целочисленности. Используем для этого симплекс-метод. Ниже последовательно в таблицах представлены исходное решение задачи, и приведены преобразования исходной таблицы с целью получения оптимального решения задачи: Решение булевских задач ЛП методом Балаша. Составить самостоятельно вариант для задачи целочисленного линейного программирования с булевскими переменными с учетом следующих правил: в задаче используется не менее 5 переменных, не менее 4 ограничений, коэффициенты ограничений и целевой функции выбираются произвольно, но таким образом, чтобы система ограничений была совместна. Задание состоит в том, чтобы решить ЗЦЛП с булевскими переменными, используя алгоритм Балаша и определить снижение трудоемкости вычислений по отношению к решению задачи методом полного перебора. Выполнение ограничений Значение F Фильтрующее ограничение: Определение снижения трудоемкости вычислений Решение задачи методом полного перебора составляет 6*25=192 вычисленных выражения. Решение задачи методом Балаша составляет 3*6+(25-3)=47 вычисленных выражений. Итого снижение трудоемкости вычислений по отношению к решению задачи методом полного перебора составляет. Заключение
Процесс проектирования информационных систем, реализующих новую информационную технологию, непрерывно совершенствуется. В центре внимания инженеров-системотехников оказываются все более сложные системы, что затрудняет использование физических моделей и повышает значимость математических моделей и машинного моделирования систем. Машинное моделирование стало эффективным инструментом исследования и проектирования сложных систем. Актуальность математических моделей непрерывно возрастает из-за их гибкости, адекватности реальным процессам, невысокой стоимости реализации на базе современных ПЭВМ. Все большие возможности предоставляются пользователю, т. е. специалисту по моделированию систем средствами вычислительной техники. Особенно эффективно применение моделирования на ранних этапах проектирования автоматизированных систем, когда цена ошибочных решений наиболее значительна. Современные вычислительные средства позволили существенно увеличить сложность используемых моделей при изучении систем, появилась возможность построения комбинированных, аналитико-имитационных моделей, учитывающих все многообразие факторов, имеющих место в реальных системах, т. е. использованию моделей, более адекватных исследуемым явлениям. Литература:
1. Лященко И.Н. Линейное и нелинейное программирования / И.Н.Лященко, Е.А.Карагодова, Н.В.Черникова, Н.З.Шор. - К.: «Высшая школа», 1975, 372 с. 2. Методические указания для выполнения курсового проекта по дисциплине «Прикладная математика» для студентов специальности «Компьютерные системы и сети» дневной и заочной форм обучения / Сост.: И.А.Балакирева, А.В.Скатков- Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2003. - 15 с. 3. Методические указания по изучению дисциплины «Прикладная математика», раздел «Методы глобального поиска и одномерной минимизации» / Сост. А.В.Скатков, И.А.Балакирева, Л.А.Литвинова - Севастополь: Изд-во СевГТУ, 2000. - 31с. 4. Методические указания для изучения дисциплины «Прикладная математика» для студентов специальности «Компьютерные системы и сети» Раздел «Решение задач целочисленного линейного программирования» дневной и заочной форм обучения / Сост.: И.А.Балакирева, А.В.Скатков - Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2000. - 13 с. 5. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: 6. Учеб. пособие для студентом эконом. спец. вузов.-М.: Высш. шк., 1986.- 319с., ил. 7. Андронов С.А. Методы оптимального проектирования: Текст лекций / СПбГУАП. СПб., 2001. 169 с.: ил. Алгоритм решения задач линейного программирования симплекс-методом. Построение математической модели задачи линейного программирования. Решение задачи линейного программирования в Excel. Нахождение прибыли и оптимального плана выпуска продукции. курсовая работа , добавлен 21.03.2012 Графическое решение задач. Составление математической модели. Определение максимального значения целевой функции. Решение симплексным методом с искусственным базисом канонической задачи линейного программирования. Проверка оптимальности решения. контрольная работа , добавлен 05.04.2016 Теоретическая основа линейного программирования. Задачи линейного программирования, методы решения. Анализ оптимального решения. Решение одноиндексной задачи линейного программирования. Постановка задачи и ввод данных. Построение модели и этапы решения. курсовая работа , добавлен 09.12.2008 Построение математической модели. Выбор, обоснование и описание метода решений прямой задачи линейного программирования симплекс-методом, с использованием симплексной таблицы. Составление и решение двойственной задачи. Анализ модели на чувствительность. курсовая работа , добавлен 31.10.2014 Построения математической модели с целью получения максимальной прибыли предприятия, графическое решение задачи. Решение задачи с помощью надстройки SOLVER. Анализ изменений запасов ресурсов. Определение пределов изменения коэффициентов целевой функции. курсовая работа , добавлен 17.12.2014 Математическое программирование. Линейное программирование. Задачи линейного программирования. Графический метод решения задачи линейного программирования. Экономическая постановка задачи линейного программирования. Построение математической модели. курсовая работа , добавлен 13.10.2008 Решение задачи линейного программирования графическим методом, его проверка в MS Excel. Анализ внутренней структуры решения задачи в программе. Оптимизация плана производства. Решение задачи симплекс-методом. Многоканальная система массового обслуживания. контрольная работа , добавлен 02.05.2012 Решение задачи линейного программирования симплекс-методом: постановка задачи, построение экономико-математической модели. Решение транспортной задачи методом потенциалов: построение исходного опорного плана, определение его оптимального значения. контрольная работа , добавлен 11.04.2012 Постановка задачи нелинейного программирования. Определение стационарных точек и их типа. Построение линий уровней, трехмерного графика целевой функции и ограничения. Графическое и аналитическое решение задачи. Руководство пользователя и схема алгоритма. курсовая работа , добавлен 17.12.2012 Анализ решения задачи линейного программирования. Симплексный метод с использованием симплекс-таблиц. Моделирование и решение задач ЛП на ЭВМ. Экономическая интерпретация оптимального решения задачи. Математическая формулировка транспортной задачи. ТЕМА: ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ЗАДАЧА 2.А. Решение задачи линейного программирования графическим методом Вариант 7. Найти максимальное и минимальное значения
линейной функции Ф = 2x 1 — 2·x 2
при ограничениях: x 1 + х 2 ≥ 4;
— х 1 + 2·х 2 ≤ 2;
x 1 + 2·х 2 ≤ 10;
х i ≥ 0, i = 1,2.
Решение:
Заменив условно знаки неравенств на знаки равенств, получим систему уравнений x1 + х2 = 4; — х1 + 2·х2 = 2; x1 + 2·х2 = 10. Построим по этим уравнениям прямые, затем в соответствии со знаками неравенств выделим полуплоскости и получим их общую часть – область допустимых решений ОДР – четырехугольник MNPQ. Минимальное значение функ- ции — в точке М(2; 2) Ф min = 2·2 — 2·2 = 0. Максимальное значение достигается в точке N (10; 0), Ф max = 2·10 — 2·0 = 20. Вариант 8. Найти максимальное и минимальное значения
линейной функции Ф = x 1 + x 2
при ограничениях: x 1 — 4·х 2 — 4 ≤ 0;
3·х 1 — х 2 ≥ 0;
x 1 + х 2 — 4 ≥ 0;
х i ≥ 0, i = 1,2.
Решение:
Заменив условно знаки неравенств на знаки равенств, получим систему уравнений x1 — 4·х2 = 4 ; 3·х1 — х2 = 0; Построим по этим уравнениям прямые, затем в соответствии со знаками неравенств выделим полуплоскости и получим их общую часть – область допустимых решений ОДР – неограниченный многоугольник MNPQ. Минимальное значение функ- ции – на прямой NP, например в точке Р(4; 0) Ф min = 4 + 0 = 4. ОДР сверху не ограничена, следовательно, Ф max = + ∞. Вариант 10. Найти максимальное и минимальное значения
линейной функции Ф = 2·x 1 — 3·x 2
при ограничениях: x 1 + 3·x 2 ≤ 18;
2·х 1 + х 2 ≤ 16;
х 2 ≤ 5;
х i ≥ 0, i = 1,2.
Заменив условно знаки неравенств знаками равенств, получим систему уравнений x 1 + 3·x 2 = 18 (1); 2·х 1 + х 2 = 16 (2); 3·х 1 = 21 (4). Построим по этим уравнениям прямые, затем в соответствии со знаками неравенств выделим полуплоскости и получим их общую часть — область допустимых решений ОДР – многоугольник MNPQRS. Построим вектор Г(2; -3) и через начало координат проведем линию уровня
– прямую. Перемещаем линию уровня в направлении, значение Ф при этом растет. В точке S(7; 0) целевая функция достигает максимума Ф max =2·7–3·0= = 14. Перемещаем линию уровня в направлении, значение Ф при этом убывает. Минимальное значение функции — в точке N(0; 5) Ф min = 2·0 – 3·5 = –15. ЗАДАЧА 2.B. Решение задачи линейного программирования
аналитическим симплексным методом
Вариант 7. Минимизировать целевую функцию Ф = x 1 — x 2 + x 3 + x 4 + x 5 — x 6
при ограничениях: x 1 + x 4 +6·x 6 = 9,
3·x 1 + x 2 – 4·x 3 + 2·x 6 = 2,
x 1 + 2·x 3 + x 5 + 2·x 6 = 6.
Решение:
Количество неизвестных n=6, количество уравнений m=3. Следовательно, r = n-m = 3 неизвестных можно принять в качестве свободных. Выберем x 1 , x 3 и x 6 . Базисные переменные x 2 ,x 4 и x 5 выразим через свободные и приведем систему к единичному базису х 2 = 2 — 3·x 1 + 4·x 3 – 2·x 6 x 4 = 9 – x 1 – 6·x 6 (*) x 5 = 6 – x 1 — 2·x 3 – 2·x 6 Целевая функция будет иметь вид: Ф = x 1 — 2 + 3·x 1 — 4·x 3 + 2·x 6 + x 3 + 9 – x 1 – 6·x 6 +6 – x 1 — 2·x 3 – 2·x 6 – x 6 = 13 + 2·x 1 — 5·x 3 – 7·x 6 Положим x 1 = x 3 = x 6 = 0, при этом базисные переменные примут значения x 2 = 2; x 4 = 9; x 5 = 6, то есть, первое допустимое решение (0; 2; 0; 9; 6; 0), целевая функция Ф 1 = 13. Переменные х 3 и х 6 входят в целевую функцию с отрицательными коэффициентами, следовательно, при увеличении их значений величина Ф будет уменьшаться. Возьмем, к примеру, х 6 . Из 1-го уравнения системы (*) видно, что увеличение значения x 6 возможно до x 6 = 1 (пока x 2 ³ 0). При этом x 1 и x 3 сохраняют значения, равные нулю. Теперь в качестве базисных переменных примем х 4 , х 5 , х 6 , в качестве свободных – х 1 , х 2 , х 3 . Выразим новые базисные переменные через новые свободные. Получим х 6 = 1 – 3/2·x 1 – 1/2·x 2 + 2·x 3 x 4 = 3 + 8·x 1 + 3·x 2 – 12·x 3 x 5 = 4 + 2·x 1 + x 2 – 6·x 3 Ф = 6 + 25/2 ·x 1 + 7/2·x 2 – 19·x 3 Присвоим свободным переменным нулевые значения, то есть, x 1 =x 2 = x 3 =0, при этом х 6 = 1, x 4 = 3, x 5 = 4, то есть, третье допустимое решение (0; 0; 0; 3; 4; 1). При этом Ф 3 = 6. Переменная x 3 входит в целевую функцию с отрицательным коэффициентом, следовательно увеличение x 3 относительно нулевого значения приведет к снижению Ф. Из 2-го уравнения видно, что x 3 может возрастать до 1/4, из 3-го уравнения – до 2/3. Второе уравнение более критично. Переменную x 3 переведем в число базисных, x 4 — в число свободных. Теперь в качестве новых свободных переменных примем x 1 , x 2 и x 4 . Выразим через них новые базисные переменные x 3 , x 5 , x 6 . Получим систему х 3 = 1/4 + 2/3·x 1 + 1/4·x 2 – 1/12·x 4 x 5 = 5/2 — 2·x 1 – 1/2·x 2 + 1/2·x 4 x 6 = 3/2 – 1/6·x 1 – 1/6·x 4 Целевая функция примет вид Ф = 5/4 — 1/6·x 1 — 5/4·x 2 + 19/12·x 4 Переменные х 1 и х 2 входят в целевую функцию с отрицательными коэффициентами, следовательно, при увеличении их значений величина Ф будет уменьшаться. Возьмем, например, х 2 . Из 2-го уравнения системы видно, что увеличение значения x 2 возможно до x 2 = 5 (пока x 5 ³ 0). При этом x 1 и x 4 сохраняют нулевые значения, значения других переменных равны x 3 = 3/2; x 5 = 0, x 6 = 3/2, то есть, четвертое допустимое решение (0; 5; 3/2; 0; 0; 3/2). При этом Ф 4 = 5/4. Теперь в качестве новых свободных переменных примем x 1 , x 4 и x 5 . Выразим через них новые базисные переменные x 2 , x 3 , x 6 . Получим систему х 2 = 5 — 4·x 1 + x 4 – 2·x 5 x 3 = 3/2 – 1/3·x 1 + 1/6·x 4 — 1/2·x 5 x 6 = 3/2 – 1/6·x 1 – 1/6·x 4 Целевая функция примет вид Ф = — 5 + 29/6·x 1 + 1/3·x 4 + 5/2·x 5 Коэффициенты при обеих переменных в выражении для Ф положительные, следовательно, дальнейшее уменьшение величины Ф невозможно. То есть, минимальное значение Ф min = — 5, последнее допустимое решение (0; 5; 3/2; 0; 0; 3/2) является оптимальным. Вариант 8. Максимизировать целевую функцию Ф = 4·x 5 + 2·x 6
при ограничениях: x 1 + x 5 + x 6 = 12;
x 2 + 5·x 5 — x 6 = 30;
x 3 + x 5 — 2·x 6 = 6;
2·x 4 + 3·x 5 — 2·x 6 = 18;
Решение:
Количество уравнений равно 4, количество неизвестных – 6. Следовательно r = n – m = 6 – 4 = 2 переменных можем выбрать в качестве свободных, 4 переменных – в качестве базисных. В качестве свободных выберем x 5 и x 6 , в качестве базисных — x 1 , x 2 , x 3 , x 4 . Выразим базисные переменные через свободные и приведем систему уравнений к единичному базису x 1 = 12 — x 5 — x 6 ; x 2 = 30 — 5·x 5 + x 6 ; x 3 = 6 — x 5 + 2·x 6 ; x 4 = 9 — 3/2·x 5 + x 6 ; Целевую функцию запишем в виде Ф = 4·x 5 + 2·x 6 . Присвоим свободным переменным нулевые значения x 5 = x 6 = 0. При этом базисные переменные примут значения x 1 = 12, x 2 = 30, x 3 = 6, x 4 = 9, то есть, получим первое допустимое решение (12, 30, 6, 9, 0,) и Ф 1 = 0. В целевую функцию обе свободные переменные входят с положительными коэффициентами, то есть, возможно дальнейшее увеличение Ф. Переведем, например, x 6 в число базисных. Из уравнения (1) видно, что x 1 = 0 при x 5 = 12, в (2) ÷ (4) x 6 входит с положительными коэффициентами. Перейдем к новому базису: базисные переменные – x 6 , x 2 , x 3 , x 4 , свободные — x 1 , x 5. Выразим новые базисные переменные через новые свободные х 6 = 12 — x 1 — x 5 ; x 2 = 42 — x 1 — 6·x 5 ; x 3 = 30 — 2·x 1 — 3·x 5 ; x 4 = 21 — x 1 — 5/2·x 5 ; Целевая функция примет вид Ф = 24 — 2·x 1 + 2·x 5 ; Присвоим свободным переменным нулевые значения x 1 = x 5 = 0. При этом базисные переменные примут значения x 6 =12, x 2 =42, x 3 = 30, x 4 = 21, то есть, получим второе допустимое решение (0, 42, 30, 21, 0, 12) и Ф 2 = 24. В целевую функцию x 5 входит с положительным коэффициентом, то есть, возможно дальнейшее увеличение Ф. Перейдем к новому базису: базисные переменные – x 6 , x 5 , x 3 , x 4 , свободные — x 1 , x 2. Выразим новые базисные переменные через новые свободные х 6 = 5 — 5/6·x 1 + 1/6·x 2 ; x 5 = 7 — 1/6·x 1 — 1/6·x 2 ; x 3 = 9 — 3/2·x 1 + 1/2·x 2 ; x 4 = 7/2 — 7/12·x 1 + 5/12·x 5 ; Целевая функция примет вид Ф = 38 – 7/2·x 1 – 1/3·x 2 ; Присвоим свободным переменным нулевые значения x 1 = x 2 = 0. При этом базисные переменные примут значения x 6 = 5, x 5 = 7, x 3 = 9, x 4 = 7/2, то есть, получим третье допустимое решение Х 3 = (0, 0, 9, 7/2, 7, 5) и Ф 3 = 38. В целевую функцию обе переменные входят с отрицательными коэффициентами, то есть, дальнейшее увеличение Ф невозможно. Следовательно, последнее допустимое решение является оптимальным, то есть, Х опт = (0, 0, 9, 7/2, 7, 5) и Ф max = 38. Вариант 10. Максимизировать целевую функцию Ф = x 2 + x 3
при ограничениях: x 1 — x 2 + x 3 = 1,
x 2 — 2·х 3 + х 4 = 2.
Решение:
Система уравнений — ограничений совместна, так как ранги матрицы системы уравнений и расширенной матрицы одинаковы и равны 2. Следовательно, две переменные можно принять в качестве свободных, две другие переменные — базисные — выразить линейно через две свободные. Примем за свободные переменные x 2 и х 3 .Тогда базисными будут переменные х 1 и х 2 , которые выразим через свободные x 1 = 1 + x 2 — x 3 ; (*) x 4 = 2 — x 2 + 2·x 3 ; Целевая функция уже выражена через x 2 и x 3 , то есть, Ф = x 2 + x 3 . При х 2 =0 и х 3 =0 базисные переменные будут равными х 1 = 1, х 4 = 2. Имеем первое допустимое решение Х 1 = (1, 0, 0, 2), при этом Ф 1 = 0. Увеличение Ф возможно при увеличении, например, значения х 3 , который входит в выражение для Ф с положительным коэффициентом (x 2 при этом остается равным нулю). В первое уравнение системы (*) видно, что х 3 можно увеличивать до 1 (из условия х 1 ³0), то есть это уравнение накладывает ограничение на увеличение значения х 3 . Первое уравнение системы (*) является разрешающим. На базе этого уравнения переходим к новому базису, поменяв х 1 и х 3 местами. Теперь базисными переменными будут х 3 и x 4 , свободными — x 1 и x 2 . Выразим теперь х 3 и x 4 через х 1 и х 2 . Получим: x 3 = 1 — x 1 + x 2 ; (**) x 4 = 4 — 2·x 1 + x 2 ; Ф = х 2 + 1 — х 1 + х 2 = 1 — x 1 + 2·x 2 Приравняв нулю свободные переменные, получим второе допустимое базисное решение Х 2 = (0; 0; 1; 4), при котором Ф 2 =1. Увеличение Ф возможно при увеличении х 2 . Увеличение же х 2 , судя по последней системе уравнений (**), не ограничено. Следовательно, Ф будет принимать все большие положительные значения, то есть, Ф мах = + ¥. Итак, целевая функция Ф не ограничена сверху, потому оптимального решения не существует. ЗАДАЧА 2.D. Составить задачу, двойственную к приведенной
исходной задаче.
Вариант 7. Максимизировать целевую функцию Ф = 2
×
х 1 — х 4
при ограничениях: х 1 + х 2 = 20,
х 2 + 2
×
х 4 ≥ 5,
х 1 + х 2 + х 3 ≤ 8,
х i ≥ 0 (i = 1, 2, 3, 4)
Решение:
Приведем систему ограничений к единому, например, каноническому виду, введя дополнительные переменные во 2-ое и 3-е уравнения х 1 + х 2 = 20, х 2 + 2×
х 4 – х 5 = 5, — х 1 + х 2 + х 3 + х 6 = 8. Получили несимметричную задачу 2-го типа. Двойственная задача будет иметь вид: Минимизировать целевую функцию F = 20×
у 1 + 5×
y 2 + 8×
y 3 при y 1 — y 3 ≥
2, y 1 + y 2 + y 3 ≥
0, y 3 ≥
0, 2×
y 2 ≥
1, Y 2 ≥
0, y 3 ≥
0. Вариант 8. Максимизировать целевую функцию Ф = х 2 — х 4 — 3
×
х 5
при ограничениях: х 1 + 2
×
х 2 — х 4 + х 5 = 1,
— 4
×
х 2 + х 3 + 2
×
х 4 — х 5 = 2,
3
×
х 2 + х 5 + х 6 = 5,
x i
≥ 0, (i
= 1, 6)
Решение:
Имеем исходную задачу на максимизацию с системой ограничений в виде уравнений, то есть, пара двойственных задач имеет несимметричный вид 2-го типа, математическая модель которых в матричной форме имеет вид: Исходная задача: Двойственная задача: Ф = С×
Х max F = B Т ×
Y min при А×
Х = В при A Т ×
Y ≥ С Т В исходной задаче матрица-строка коэффициентов при переменных в целевой функции имеет вид С = (0; 1; 0; -1; -3; 0), матрица-столбец свободных членов и матрица коэффициентов при переменных в системе ограничений имеют вид В = 2 , А = 0 — 4 1 2 -1 0 Найдем транспонированную матрицу коэффициентов, матрицу-строку коэффициентов при переменных в целевой функции и матрицу-столбец свободных членов 0 1 0 0 В Т = (1; 2; 5) A T = -1 2 0 С Т = -1 Двойственная задача запишется в следующем виде: найти минимальное значение целевой функции F = y 1 + 2×
y 2 + 5×
y 3 при ограничениях y 1 ≥ 0, 2×
y 1 — 4×
y 2 + 3×
y 3 ≥ 1, — y 1 + 2×
y 2 ≥ -1, y 1 — y 2 + y 3 ≥ -3, Вариант 10. Минимизировать функцию Ф = х 1 + х 2 + х 3
при ограничениях: 3
×
х 1 + 9
×
х 2 + 7
×
х 3 ≥ 2,
6
×
х 1 + 4·х 2 + 5
×
х 3 ≥ 3,
8
×
х 1 + 2·х 2 + 4
×
х 3 ≥ 4,
Решение:
Имеем исходную задачу на минимизацию с системой ограничений в виде неравенств, то есть, пара двойственных задач имеет симметричный вид 3-го типа, математическая модель которых в матричной форме имеет вид: Исходная задача Двойственная задача Ф = С×
Х min F = B Т ×
Y max при А ×
Х ≥
В при A Т ×
Y ≤
С Т Х ≥ 0 Y ≥ 0 В исходной задаче матрица-строка коэффициентов при переменных в целевой функции, матрица-столбец свободных членов и матрица коэффициентов при переменных в системе ограничений имеют вид С = (1; 1; 1), В = 3 , А = 6 4 5 Найдем матрицы двойственной задачи В T = (2; 3; 4) С T = 3 A T = 9 4 2 Двойственная задача формулируется в виде: Максимизировать целевую функцию F = 2y 1 + 3y 2 + 4y 3 при ограничениях 3×
y 1 + 6×
y 2 + 8×
y 3 ≤ 1, 9×
y 1 + 4×
y 2 + 2×
y 3 ≤ 1, 7×
y 1 + 5×
y 2 + 4×
y 3 ≤ 1, y i ≥ 0 (i = 1, 2, 3) ЗАДАЧА 2.С. Решение задачи линейного программирования с помощью симплексных таблиц.
Вариант 7. Максимизировать целевую функцию Ф = 2·x 1 — x 2 + 3·x 3 + 2·x 4
при ограничениях: 2·x 1 + 3·x 2 — x 3 + 2·x 4 ≤ 4,
x 1 — 2·x 2 + 5·x 3 — 3·x 4 ≥ 1,
4·x 1 + 10·x 2 +3·x 3 + x 4 ≤ 8.
Решение:
Приведем систему ограничений к каноническому виду 2·x 1 + 3·x 2 — x 3 + 2·x 4 + z 1 = 4, (1) x 1 — 2·x 2 + 5·x 3 — 3·x 4 — z 2 = 1, (2) 4·x 1 + 10·x 2 +3·x 3 + x 4 + z 3 = 8. (3) Имеем систему 3-х уравнений с 7-ю неизвестными. Выберем в качестве базисных 3 переменных x 1 , z 1 , z 3 , в качестве свободных — x 2 , x 3 , x 4 , z 2 , выразим через них базисные переменные. Из (2) имеем x 1 = 1 + 2·x 2 — 5·x 3 + 3·x 4 + x 6 Подставим в (1) и (3), получим x 1 — 2·x 2 + 5·x 3 — 3·x 4 — z 2 = 1, z 1 + 7·x 2 — 11·x 3 + 8·x 4 + 2·z 2 = 2, z 3 + 18·x 2 — 17·x 3 + 13·x 4 + 4·z 2 = 4, Ф — 3·x 2 + 7·x 3 — 8·x 4 — 2· z 2 = 2. Составим симплекс-таблицу I итерация Таблица 1 Х 1 = (1; 0; 0; 0; 2; 0; 4) Ф 1 = 2. II итерация Таблица 2 Х 2 = (14/8; 0; 0; 1/4; 0; 0; 4) Ф 2 = 4. III итерация Таблица 3 Х 3 = (1; 0; 6/7; 10/7; 0; 0; 0) Ф 3 = 52/7. IV итерация Таблица 4 Х 4 = (0; 0; 25/14; 37/14; 1/2; 0; 0) Ф 4 = 149/14. В индексной строке последней таблицы нет отрицательных чисел, то есть, в выражении для целевой функции все Г i < 0. Имеем случай I, следовательно, последнее базисное решение является оптимальным. Ответ: Ф m ax = 149/14, оптимальное решение (0; 0; 25/14; 37/14; 1/2; 0; 0) Вариант 8. Минимизировать целевую функцию Ф = 5·x 1 — x 3
при ограничениях: x 1 + x 2 + 2·x 3 — x 4 = 3,
x 2 + 2· x 4 =1,
Решение:
Количество переменных равно 4, ранг матрицы — 2, следовательно количество свободных переменных равно r = 4 — 2 = 2, количество базисных тоже 2. В качестве свободных переменных примем х 3 , х 4 , базисные переменные x 1 , x 2 выразим через свободные и приведем систему к единичному базису: x 2 = 1 — 2· x 4 , x 1 = 3 — x 2 — 2·x 3 + x 4 = 3 – 1 + 2· x 4 — 2·x 3 + x 4 = 2 — 2·x 3 + 3· x 4 Ф = 5·x 1 — x 3 = 5·(2 — 2·x 3 + 3· x 4) — x 3 = 10 — 10·x 3 + 15· x 4 — x 3 = 10 — 11·x 3 + 15· x 4 Запишем систему уравнений и целевую функцию в удобном для симплекс-таблицы виде, то есть, x 2 + 2· x 4 = 1, x 1 +2·x 3 — 3· x 4 = 2 Ф + 11·x 3 — 15· x 4 = 10 Составим таблицу I итерация Таблица 1 Х 1 = (2; 1; 0; 0) Ф 1 = 10. II итерация Таблица 2 Х 2 = (0; 1; 1; 0) Ф 2 = -1. III итерация Таблица 3 Х 3 = (0; 0; 7/4; 1/2) Ф 3 = -7/4. В индексной строке последней таблицы нет положительных чисел, то есть, в выражении для целевой функции все Г i > 0. Имеем случай I, следовательно, последнее базисное решение является оптимальным. Ответ: Ф min = -7/4, оптимальное решение (0; 0; 7/4; 1/2) ********************
Вариант 10. Минимизировать целевую функцию Ф = x 1 + x 2 ,
при ограничениях: x 1 –2·x 3 + x 4 = 2,
x 2 – x 3 + 2·x 4 = 1,
Решение:
Количество переменных равно 5, ранг матрицы — 3, следовательно количество свободных переменных равно r = 6-3 = 2. В качестве свободных переменных примем х 3 и х 4 , в качестве базисных — x 1 , x 2 , x 5 . Все уравнения системы уже приведены к единичному базису (базисные переменные выражены через свободные), но записаны в виде, не удобном к применению симплекс-таблиц. Запишем систему уравнений в виде x 1 — 2·x 3 + x 4 = 2 x 2 — x 3 +2·x 4 = 1 x 5 + x 3 — x 4 . = 5 Целевую функцию выразим через свободные переменные и запишем в виде Ф — 3·x 3 +3·x 4 = 3 Составим таблицу I итерация Таблица 1 Х 1 = (2; 3; 0; 0; 5) Ф 1 = 3. Таблица 2 Х 2 = (3/2; 0; 0; 1/2; 11/2) Ф 2 = 3/2. В индексной строке последней таблицы нет положительных чисел, то есть, в выражении для целевой функции все Гi > 0. Имеем случай 1, следовательно, последнее базисное решение является оптимальным. Ответ: Ф min = 3/2, оптимальное решение (3/2; 0; 0; 1/2; 11/2). Если в задаче линейного программирования имеется только две переменные, то ее можно решить графическим методом. Рассмотрим задачу линейного программирования с двумя переменными и :
Графический метод решения задачи (1) следующий. Так, первое неравенство Тоже самое выполняем для остальных неравенств системы (1.2). Так мы получим заштрихованных полуплоскостей. Точки области допустимых решений удовлетворяют всем неравенствам (1.2). Поэтому, графически, область допустимых решений (ОДР) является пересечением всех построенных полуплоскостей. Заштриховываем ОДР. Она представляет собой выпуклый многоугольник, грани которого принадлежат построенным прямым. Также ОДР может быть неограниченной выпуклой фигурой, отрезком, лучом или прямой. Может возникнуть и такой случай, что полуплоскости не содержат общих точек. Тогда областью допустимых решений является пустое множество. Такая задача решений не имеет. Можно упростить метод. Можно не заштриховывать каждую полуплоскость, а вначале построить все прямые Если хотя бы одно неравенство не выполняется, то выбираем другую точку. И так далее, пока не будет найдены одна точка, координаты которой удовлетворяют системе (1.2). Итак, мы имеем заштрихованную область допустимых решений (ОДР). Она ограничена ломаной, состоящей из отрезков и лучей, принадлежащих построенным прямым (2). ОДР всегда является выпуклым множеством. Оно может быть как ограниченным множеством, так и не ограниченным вдоль некоторых направлений. Теперь мы можем искать экстремум целевой функции Для этого выбираем любое число и строим прямую Таким образом, чтобы найти максимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3), максимально удаленную от нее в сторону возрастания значений ,
и проходящую хотя бы через одну точку ОДР. Чтобы найти минимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3) и максимально удаленную от нее в сторону убывания значений ,
и проходящую хотя бы через одну точку ОДР. Если ОДР неограниченна, то может возникнуть случай, когда такую прямую провести нельзя. То есть как бы мы ни удаляли прямую от линии уровня (3) в сторону возрастания (убывания) ,
то прямая всегда будет проходить через ОДР. В этом случае может быть сколь угодно большим (малым). Поэтому максимального (минимального) значения нет. Задача решений не имеет. Рассмотрим случай, когда крайняя прямая, параллельная произвольной прямой вида (3), проходит через одну вершину многоугольника ОДР. Из графика определяем координаты этой вершины. Тогда максимальное (минимальное) значение целевой функции определяется по формуле: Также может встретиться случай, когда прямая параллельна одной из граней ОДР. Тогда прямая проходит через две вершины многоугольника ОДР. Определяем координаты и этих вершин. Для определения максимального (минимального) значения целевой функции, можно использовать координаты любой из этих вершин: Фирма выпускает платья двух моделей А и В. При этом используется ткань трех видов. На изготовление одного платья модели А требуется 2 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. На изготовление одного платья модели В требуется 3 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. Запасы ткани первого вида составляют 21 м, второго вида - 10 м, третьего вида - 16 м. Выпуск одного изделия типа А приносит доход 400 ден. ед., одного изделия типа В - 300 ден. ед. Составить план производства, обеспечивающий фирме наибольший доход. Задачу решить графическим методом. Пусть переменные и означают количество произведенных платьев моделей А и В, соответственно. Тогда количество израсходованной ткани первого вида составит: Тогда экономико-математическая модель задачи имеет вид: Решаем графическим методом. Строим прямую .
Строим прямую .
Строим прямую .
Далее замечаем, что поскольку коэффициенты при и целевой функции положительны (400 и 300), то она возрастает при увеличении и .
Проводим прямую, параллельную прямой (П1.1), максимально удаленную от нее в сторону возрастания ,
и проходящую хотя бы через одну точку четырехугольника OABC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты. Решение задачи: ;
.
Решить задачу линейного программирования графическим методом. Решаем графическим методом. Строим прямую .
Строим прямую .
Строим прямую .
Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств: Строим произвольную линию уровня целевой функции, например, Решение задачи: ;
Решить графически задачу линейного программирования. Найти максимальное и минимальное значение целевой функции. Решаем задачу графическим методом. Строим прямую .
Строим прямую .
Строим прямую .
Прямые и являются осями координат. Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми и осями координат. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств: Строим произвольную линию уровня целевой функции, например, Чтобы найти максимум, нужно провести параллельную прямую, максимально удаленную в сторону возрастания ,
и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Однако, поскольку область неограниченна со стороны больших значений и ,
то такую прямую провести нельзя. Какую бы прямую мы не провели, всегда найдутся точки области, более удаленные в сторону увеличения и .
Поэтому максимума не существует. можно сделать сколь угодно большой. Ищем минимум. Проводим прямую, параллельную прямой (П3.1) и максимально удаленную от нее в сторону убывания ,
и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты. Максимального значения не существует. Построим на плоскости множество допустимых решений системы линейных неравенств и геометрически найдём минимальное значение целевой функции. Строим в системе координат х 1 ох 2 прямые Находим полуплоскости, определяемые системой. Так как неравенства системы выполняется для любой точки из соответствующей полуплоскости, то их достаточно проверить для какой-либо одной точки. Используем точку (0;0). Подставим её координаты в первое неравенство системы. Т.к. , то неравенство определяет полуплоскость, не содержащую точку (0;0). Аналогично определяем остальные полуплоскости. Находим множество допустимых решений как общую часть полученных полуплоскостей - это заштрихованная область. Строим вектор и перпендикулярно к нему прямую нулевого уровня. Перемещая прямую (5) в направлении вектора и видим, что у области максимальная точка будет в точке А пересечения прямой (3) и прямой (2). Находим решение системы уравнений: Значит, получили точку (13;11) и. Перемещая прямую (5) в направлении вектора и видим, что у области минимальная точка будет в точке В пересечения прямой (1) и прямой (4). Находим решение системы уравнений: Значит, получили точку (6;6) и. 2. Мебельная фирма производит комбинированные шкафы и компьютерные столики. Их производство ограничено наличием сырья (высококачественных досок, фурнитуры) и временем работы обрабатывающих их станков. Для каждого шкафа требуется 5 м2 досок, для стола - 2 м2. На один шкаф расходуется фурнитуры на 10$, на один столик также на 8$. Фирма может получать от своих поставщиков до 600 м2 досок в месяц и фурнитуры на 2000$. Для каждого шкафа требуется 7 часов работы станков, для стола - 3 часа. В месяц возможно использовать всего 840 часов работы станков. Сколько комбинированных шкафов и компьютерных столиков фирме следует выпускать в месяц для получения максимальной прибыли, если один шкаф приносит 100$ прибыли, а каждый стол - 50$? Обозначим через x 1 - объём производства шкафов, а х 2 - объём производства столиков. Составим систему ограничений и функцию цели: Задачу решаем симплекс-методом. Запишем её в каноническом виде: Запишем данные задачи в виде таблицы: Таблица 1 Т.к. теперь все дельта больше нуля, то дальнейшее увеличение значения функции цели f невозможно и мы получили оптимальный план.
Тесты для текущего контроля знаний
1. Любая экономико – математическая модель задачи линейного программирования состоит из: A. целевой функции и системы ограничений B.
целевой функции, системы ограничений и условия неотрицательности переменных
C. системы ограничений и условия неотрицательности переменных D. целевой функции и условия неотрицательности переменных A.
целевая функция
B. система уравнений C. система неравенств D. условие неотрицательности переменных 3. Оптимальное решение задачи математического программирования – это A. допустимое решение системы ограничений B. любое решение системы ограничений C.
допустимое решение системы ограничений, приводящее к максимуму или минимуму целевой функции
D. максимальное или минимальное решение системы ограничений 4. Система ограничений называется стандартной, если она содержит A. все знаки B.
все знаки
C. все знаки D. все знаки 5. Задача линейного программирования решается графическим способом, если в задаче A. одна переменная B.
две переменные
C. три переменные D. четыре переменные 6. Неравенство вида B. окружность C.
полуплоскость
D. плоскость 7. Максимум или минимум целевой функции находится A. в начале координат B. на сторонах выпуклого многоугольника решений C. внутри выпуклого многоугольника решений D.
в вершинах выпуклого многоугольника решений
8. Каноническим видом ЗЛП называется такой ее вид, в котором система ограничений содержит знаки A. все знаки B. все знаки C.
все знаки
D. все знаки 9. Если ограничение задано со знаком «>=», то дополнительная переменная вводится в это ограничение с коэффициентом B.
-1
10. В целевую функцию дополнительные переменные вводятся с коэффициентами C.
0
A.
количество ресурса с номером i, необходимого для изготовления 1 единицы продукции j – го вида
B. неиспользованные ресурсы i - го вида C. прибыль от реализации 1 единицы продукции j – го вида D. количество продукции j – го вида 12. Разрешающий столбец при решении ЗЛП на max целевой функции выбирается исходя из условия A.
наибольшее положительное значение коэффициента Cj целевой функции
B. наименьшее положительное значение коэффициента Cj целевой функции C. наибольшее отрицательное значение коэффициента Cj целевой функции D. любой столбец коэффициентов при неизвестных 13. Значение целевой функции в таблице с оптимальным планом находится A. на пересечении строки коэффициентов целевой функции со столбцом коэффициентов при х1 B.
на пересечении строки коэффициентов целевой функции со столбцом b
C. в столбце коэффициентов при хn D. на пересечении строки коэффициентов целевой функции со столбцом первоначального базиса 14. Искусственные переменные в систему ограничений в каноническом виде вводятся с коэффициентом A.
1
15. Оптимальность плана в симплексной таблице определяется A. по столбцу b B.
по строке значений целевой функции
C. по разрешающей строке D. по разрешающему столбцу 16. Дана задача линейного программирования B.
1
17. Дана задача линейного программирования Количество искусственных переменных для этой задачи равно C.
2
18. Если исходная ЗЛП имеет вид тогда ограничения двойственной задачи A. имеют вид B.
имеют вид
C. имеют вид D. имеют вид 19. Если исходная ЗЛП имеет вид A. имеют вид B. имеют вид C. имеют вид D.
имеют вид
20. Коэффициентами при неизвестных целевой функции двойственной задачи являются A. коэффициенты при неизвестных целевой функции исходной задачи B.
свободные члены системы ограничений исходной задачи
C. неизвестные исходной задачи D. коэффициенты при неизвестных системы ограничений исходной задачи 21. Если исходная ЗЛП была на максимум целевой функции, то двойственная задача будет A. тоже на максимум B. либо на максимум, либо на минимум C. и на максимум, и на минимум D.
на минимум
22. Связь исходной и двойственной задач заключается в том, что A. надо решать обе задачи B.
решение одной из них получается из решения другой
C. из решения двойственной задачи нельзя получить решения исходной D. обе имеют одинаковые решения 23. Если исходная ЗЛП имеет вид тогда целевая функция двойственной задачи A. имеют вид B. имеют вид C.
имеют вид
D. имеют вид 24. Если исходная ЗЛП имеет вид то количество переменных в двойственной задаче равно B.
2
25. Модель транспортной задачи закрытая, A.
если
26. Цикл в транспортной задаче – это A. замкнутая прямоугольная ломаная линия, все вершины которой находятся в занятых клетках B. замкнутая прямоугольная ломаная линия, все вершины которых находятся свободных клетках C. замкнутая прямоугольная ломаная линия, одна вершина которой в занятой клетке, остальные в свободных клетках D.
замкнутая прямоугольная ломаная линия, одна вершина которой в свободной клетке, а остальные в занятых клетках
27. Потенциалами транспортной задачи размерности (m*n) называются m+n чисел ui и vj, для которых выполняются условия A.
ui+vj=cij для занятых клеток
B. ui+vj=cij для свободных клеток C. ui+vj=cij для первых двух столбцов распределительной таблицы D. ui+vj=cij для первых двух строк распределительной таблицы 28. Оценками транспортной задачи размерности (m+n) называются числа yij=cij-ui-vj, которые вычисляются A. для занятых клеток B.
для свободных клеток
C. для первых двух строк распределительной таблицы D. для первых двух столбцов распределительной таблицы 29. При решении транспортной задачи значение целевой функции должно от итерации к итерации A. увеличиваться B. увеличиваться или не меняться C. увеличиваться на величину любой оценки D.
уменьшаться или не меняться
30. Число занятых клеток невырожденного плана транспортной задачи должно быть равно C.
m+n-1
31. Экономический смысл целевой функции транспортной задачи A. суммарный объем перевозок B.
суммарная стоимость перевозок
C. суммарные поставки D. суммарные потребности
Подобные документы
Внимание!
Это ОЗНАКОМИТЕЛЬНАЯ ВЕРСИЯ работы №2073, цена оригинала 200 рублей. Оформлена в программе Microsoft Word.
Оплата
. Контакты.
Базисн. перем.
Свобод. перем.
x 1
1
1
— 2
5
— 3
0
— 1
0
3/8
z 1
2
0
7
-11
1
2
0
1/ 4
1/8
z 3
4
0
18
-17
13
0
4
1
4/13
13/8
Ф
2
0
— 3
7
— 8
0
— 2
0
1
x 1
14/8
1
5/8
7/8
0
3/8
-2/8
0
2
— 1
x 4
1/ 4
0
7/8
-11/8
1
1/8
2/8
0
11/7
z 3
6/8
0
53/8
0
-13/8
6/8
1
6/7
8/7
Ф
4
0
4
— 4
0
1
0
0
32/7
x 1
1
1
— 6
0
0
-1
— 1
1/2
x 4
10/ 7
0
79/7
0
1
-17/7
10/7
11/7
11/7
x 3
6/7
0
53/7
1
0
-13/7
6/7
8/7
13/14
Ф
52/7
0
240/7
0
0
-45/7
24/7
32/7
45/14
z 1
1/ 2
1/2
— 3
0
0
1
-1/2
-1/2
x 4
37/ 14
17/14
56/14
0
1
0
3/14
5/14
x 3
25/14
13/14
28/14
1
0
0
-1/14
3/14
Ф
149/14
45/14
15
0
0
0
3/14
19/14
Базисн. перем.
Свобод. перем.
X 1
2
1
0
— 3
1/2
X 2
1
0
1
0
2
Ф
10
0
0
11
— 15
— 11/2
X 3
1
1/2
0
1
-3/2
3/4
X 2
1
0
1
0
1/2
Ф
— 1
— 11/2
0
0
3/2
— 3/4
X 3
7/4
1/2
3/4
1
0
X 4
1/2
0
1/2
0
1
Ф
— 7/4
— 11/2
— 3/4
0
0
Базисн. перем.
Свобод. перем.
х 1
2
1
0
-2
1
0
2
-1/2
х 2
1
0
1
-1
0
1/2
1/2
х 5
5
0
0
1
-1
1
1/2
Ф
3
0
0
-3
3
0
-3/2
х 1
3/2
1
-1/2
-3/2
0
0
х 4
1/2
0
1/2
-1/2
1
0
х 5
11/2
0
1/2
1/2
0
1
Ф
3/2
0
-3/2
-3/2
0
0
(1.1)
;
(1.2)
Здесь ,
есть произвольные числа. Задача может быть как на нахождение максимума (max), так и на нахождение минимума (min). В системе ограничений могут присутствовать как знаки ,
так и знаки .
Построение области допустимых решений
Вначале мы проводим оси координат и и выбираем масштаб. Каждое из неравенств системы ограничений (1.2) определяет полуплоскость, ограниченную соответствующей прямой.
(1.2.1)
определяет полуплоскость, ограниченную прямой .
С одной стороны от этой прямой ,
а с другой стороны .
На самой прямой .
Чтобы узнать, с какой стороны выполняется неравенство (1.2.1), мы выбираем произвольную точку, не лежащую на прямой. Далее подставляем координаты этой точки в (1.2.1). Если неравенство выполняется, то полуплоскость содержит выбранную точку. Если неравенство не выполняется, то полуплоскость расположена с другой стороны (не содержит выбранную точку). Заштриховываем полуплоскость, для которой выполняется неравенство (1.2.1).
(2)
Далее выбрать произвольную точку, не принадлежащую ни одной из этих прямых. Подставить координаты этой точки в систему неравенств (1.2). Если все неравенства выполняются, то область допустимых решений ограничена построенными прямыми и включает в себя выбранную точку. Заштриховываем область допустимых решений по границам прямых так, чтобы оно включало в себя выбранную точку.Нахождение экстремума целевой функции
(1.1)
.
(3)
.
Для удобства дальнейшего изложения считаем, что эта прямая проходит через ОДР. На этой прямой целевая функция постоянна и равна .
такая прямая называется линией уровня функции .
Эта прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. На одной полуплоскости
.
На другой полуплоскости
.
То есть с одной стороны от прямой (3) целевая функция возрастает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3), тем больше будет значение .
С другой стороны от прямой (3) целевая функция убывает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3) в другую сторону, тем меньше будет значение .
Если мы проведем прямую, параллельную прямой (3), то новая прямая также будет линией уровня целевой функции, но с другим значением .
.
Решением задачи является
.
.
Задача имеет бесконечно много решений. Решением является любая точка, расположенная на отрезке между точками и ,
включая сами точки и .
Пример решения задачи линейного программирования графическим методом
Условие задачи
Решение
(м)
Количество израсходованной ткани второго вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани третьего вида составит:
(м)
Поскольку произведенное количество платьев не может быть отрицательным, то
и .
Доход от произведенных платьев составит:
(ден. ед.)
Проводим оси координат и .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (10,5; 0).
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 10) и (10; 0).
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (8; 0).
Заштриховываем область, чтобы точка (2; 2) попала в заштрихованную часть. Получаем четырехугольник OABC.
(П1.1)
.
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 4) и (3; 0).
.
Ответ
То есть, для получения наибольшего дохода, необходимо изготовить 8 платьев модели А. Доход при этом составит 3200 ден. ед.Пример 2
Условие задачи
Решение
Проводим оси координат и .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 6) и (6; 0).
Отсюда .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (7; 2).
Строим прямую (ось абсцисс).
Заштриховываем область по границам построенных прямых, чтобы точка (4; 1) попала в заштрихованную часть. Получаем треугольник ABC.
.
При .
При .
Проводим прямую линию уровня через точки (0; 6) и (4; 0).
Поскольку целевая функция увеличивается при увеличении и ,
то проводим прямую, параллельную линии уровня и максимально удаленную от нее в сторону возрастания ,
и проходящую хотя бы через одну точку треугольника АВC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.
Ответ
Пример отсутствия решения
Условие задачи
Решение
Проводим оси координат и .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (2,667; 0).
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 3) и (6; 0).
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (6; 3).
Заштриховываем область, чтобы точка (3; 3) попала в заштрихованную часть. Получаем неограниченную область, ограниченную ломаной ABCDE.
(П3.1)
.
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (7; 0).
Поскольку коэффициенты при и положительны, то возрастает при увеличении и .
.
Минимальное значение целевой функции:Ответ
Минимальное значение
.
описывает
