Дробно рациональные уравнения с корнями. Рациональное уравнение

«Рациональные уравнения с многочленами» - одна из самых часто встречающихся тем в тестовых заданиях ЕГЭ по математике. По этой причине их повторению стоит уделить особое внимание. Многие ученики сталкиваются с проблемой нахождения дискриминанта, перенесения показателей из правой части в левую и приведения уравнения к общему знаменателю, из-за чего выполнение подобных заданий вызывает трудности. Решение рациональных уравнений при подготовке к ЕГЭ на нашем сайте поможет вам быстро справляться с задачами любой сложности и сдать тестирование на отлично.

Выбирайте образовательный портал «Школково» для успешной подготовки к единому экзамену по математике!

Чтобы знать правила вычисления неизвестных и легко получать правильные результаты, воспользуйтесь нашим онлайн-сервисом. Портал «Школково» - это единственная в своем роде площадка, где собраны необходимые для подготовки к ЕГЭ материалы. Наши преподаватели систематизировали и изложили в понятной форме все математические правила. Кроме того, мы предлагаем школьникам попробовать силы в решении типовых рациональных уравнений, база которых постоянно обновляется и дополняется.

Для более результативной подготовки к тестированию рекомендуем следовать нашему особому методу и начать с повторения правил и решения простых задач, постепенно переходя к более сложным. Таким образом, выпускник сможет выделить для себя самые трудные темы и сделать акцент на их изучении.

Начните подготовку к итоговому тестированию со «Школково» уже сегодня, и результат не заставит себя ждать! Выберите самый легкий пример из предложенных. Если вы быстро справились с выражением, переходите к более сложной задаче. Так вы сможете подтянуть свои знания вплоть до решения заданий ЕГЭ по математике профильного уровня.

Обучение доступно не только выпускникам из Москвы, но и школьникам из других городов. Уделяйте пару часов в день занятиям на нашем портале, например, и совсем скоро вы сможете справиться с уравнениями любой сложности!

Мы уже научились решать квадратные уравнения. Теперь распространим изученные методы на рациональные уравнения.

Что такое рациональное выражение? Мы уже сталкивались с этим понятием. Рациональными выражениями называются выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков математических действий.

Соответственно, рациональными уравнениями называются уравнения вида: , где - рациональные выражения.

Раньше мы рассматривали только те рациональные уравнения, которые сводятся к линейным. Теперь рассмотрим и те рациональные уравнения, которые сводятся и к квадратным.

Пример 1

Решить уравнение: .

Решение:

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.

Получаем следующую систему:

Первое уравнение системы - это квадратное уравнение. Прежде чем его решать, поделим все его коэффициенты на 3. Получим:

Получаем два корня: ; .

Поскольку 2 никогда не равно 0, то необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Поскольку ни один из полученных выше корней уравнения не совпадает с недопустимыми значениями переменной, которые получились при решении второго неравенства, они оба являются решениями данного уравнения.

Ответ: .

Итак, давайте сформулируем алгоритм решения рациональных уравнений:

1. Перенести все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части получился 0.

2. Преобразовать и упростить левую часть, привести все дроби к общему знаменателю.

3. Полученную дробь приравнять к 0, по следующему алгоритму: .

4. Записать те корни, которые получились в первом уравнении и удовлетворяют второму неравенству, в ответ.

Давайте рассмотрим еще один пример.

Пример 2

Решить уравнение: .

Решение

В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:

Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Данное уравнение эквивалентно системе:

Первое уравнение системы - это квадратное уравнение.

Коэффициенты данного уравнения: . Вычисляем дискриминант:

Получаем два корня: ; .

Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.

Необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Получаем, что из двух корней первого уравнения подходит только один - 3.

Ответ: .

На этом уроке мы вспомнили, что такое рациональное выражение, а также научились решать рациональные уравнения, которые сводятся к квадратным уравнениям.

На следующем уроке мы рассмотрим рациональные уравнения как модели реальных ситуаций, а также рассмотрим задачи на движение.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. - М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2006.

1. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Домашнее задание

Цели урока:

Обучающая:

• формирование понятия дробных рационального уравнения;
• рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
• рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
• обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
• проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.

Развивающая:

• развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
• развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций - анализ, синтез, сравнение и обобщение;
• развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
• развитие критического мышления;
• развитие навыков исследовательской работы.

Воспитывающая:

• воспитание познавательного интереса к предмету;
• воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
• воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока : урок – объяснение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

1. Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными .)
2. Как называется уравнение №1? (Линейное .) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель ).
3. Как называется уравнение №3? (Квадратное. ) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия .)
4. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений .) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов .)
5. Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному .)
6. Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю .)

3. Объяснение нового материала.

Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

Ответ : 10.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

(х-2)(х-4) = (х+2)(х+3)

х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6

х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

Ответ : 1,5.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

х 2 -7х+12 = 0

D=1›0, х 1 =3, х 2 =4.

Ответ : 3;4.

Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.

Объясните, почему так получилось? Почему в одном случае три корня, в другом – два? Какие же числа являются корнями данного дробно-рационального уравнения?

До сих пор учащиеся с понятием посторонний корень не встречались, им действительно очень трудно понять, почему так получилось. Если в классе никто не может дать четкого объяснения этой ситуации, тогда учитель задает наводящие вопросы.

• Чем отличаются уравнения № 2 и 4 от уравнений № 5,6,7? (В уравнениях № 2 и 4 в знаменателе числа, № 5-7 – выражения с переменной .)
• Что такое корень уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство .)
• Как выяснить является ли число корнем уравнения? (Сделать проверку .)

При выполнении проверки некоторые ученики замечают, что приходится делить на нуль. Они делают вывод, что числа 0 и 5 не являются корнями данного уравнения. Возникает вопрос: существует ли способ решения дробных рациональных уравнений, позволяющий исключить данную ошибку? Да, это способ основан на условие равенства дроби нулю.

х 2 -3х-10=0 , D=49 , х 1 =5 , х 2 =-2.

Если х=5, то х(х-5)=0, значит 5- посторонний корень.

Если х=-2, то х(х-5)≠0.

Ответ : -2.

Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данным способом. Дети сами формулируют алгоритм.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

1. Перенести все в левую часть.
2. Привести дроби к общему знаменателю.
3. Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
4. Решить уравнение.
5. Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни.
6. Записать ответ.

Обсуждение: как оформить решение, если используется основное свойство пропорции и умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель. (Дополнить решение: исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель).

4. Первичное осмысление нового материала.

Работа в парах. Учащиеся выбирают способ решения уравнения самостоятельно в зависимости от вида уравнения. Задания из учебника «Алгебра 8», Ю.Н. Макарычев,2007: № 600(б,в,и); № 601(а,д,ж). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Самопроверка: ответы записаны на доске.

б) 2 – посторонний корень. Ответ:3.

в) 2 – посторонний корень. Ответ: 1,5.

а) Ответ: -12,5.

ж) Ответ: 1;1,5.

5. Постановка домашнего задания.

1. Прочитать п.25 из учебника, разобрать примеры 1-3.
2. Выучить алгоритм решения дробных рациональных уравнений.
3. Решить в тетрадях № 600(а,г,д); №601(г,з).
4. Попробовать решить №696(а)(по желанию).

6. Выполнение контролирующего задания по изученной теме.

Работа выполняется на листочках.

Пример задания:

А) Какие из уравнений являются дробными рациональными?

Б) Дробь равна нулю, когда числитель ______________________ , а знаменатель _______________________ .

В) Является ли число -3 корнем уравнения №6?

Г) Решить уравнение №7.

Критерии оценивания задания:

• «5» ставится, если ученик выполнил правильно более 90% задания.
• «4» - 75%-89%
• «3» - 50%-74%
• «2» ставится учащемуся, выполнившему менее 50% задания.
• Оценка 2 в журнал не ставится, 3 - по желанию.

7. Рефлексия.

На листочках с самостоятельной работой поставьте:

• 1 – если на уроке вам было интересно и понятно;
• 2 – интересно, но не понятно;
• 3 – не интересно, но понятно;
• 4 – не интересно, не понятно.

8. Подведение итогов урока.

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами, проверили свои знания с помощью обучающей самостоятельной работы. Результаты самостоятельной работы вы узнаете на следующем уроке, дома у вас будет возможность закрепить полученные знания.

Какой метод решения дробных рациональных уравнений, по Вашему мнению, является более легким, доступным, рациональным? Не зависимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?

Всем спасибо, урок окончен.

До сих пор мы решали только уравнения целые относительно неизвестного, то есть уравнения, в которых знаменатели (если таковые имелись) не содержали неизвестное.

Часто приходится решать уравнения, содержащие неизвестное в знаменателях: такие уравнения называются дробными.

Чтобы решить это уравнение, умножим обе его части на то есть на многочлен, содержащий неизвестное. Будет ли новое уравнение равносильно данному? Чтобы ответить на вопрос, решим это уравнение.

Умножив обе части его на , получим:

Решив это уравнение первой степени, найдём:

Итак, уравнение (2) имеет единственный корень

Подставив его в уравнение (1), получим:

Значит, является корнем и уравнения (1).

Других корней уравнение (1) не имеет. В нашем примере это видно, например, из того, что в уравнении (1)

Как неизвестный делитель должен быть равен делимому 1, разделённому на частное 2, то есть

Итак, уравнения (1) и (2) имеют единственный корень Значит, они равносильны.

2. Решим теперь такое уравнение:

Простейший общий знаменатель: ; умножим на него все члены уравнения:

После сокращения получим:

Раскроем скобки:

Приведя подобные члены, будем иметь:

Решив это уравнение, найдём:

Подставив в уравнение (1), получим:

В левой части получили выражения, не имеющие смысла.

Значит, корнем уравнения (1) не является. Отсюда следует, что уравнения (1) и неравносильны.

Говорят в этом случае, что уравнение (1) приобрело посторонний корень.

Сравним решение уравнения (1) с решением уравнений, рассмотренных нами раньше (см. § 51). При решении этого уравнения нам пришлось выполнить две такие операции, которые раньше не встречались: во-первых, мы умножили обе части уравнения на выражение, содержащее неизвестное (общий знаменатель), и, во-вторых, мы сокращали алгебраические дроби на множители, содержащие неизвестное.

Сравнивая уравнение (1) с уравнением (2), мы видим, что не все значения х, допустимые для уравнения (2), являются допустимыми для уравнения (1).

Именно числа 1 и 3 не являются допустимыми значениями неизвестного для уравнения (1), а в результате преобразования они стали допустимыми для уравнения (2). Одно из этих чисел оказалось решением уравнения (2), но, разумеется, решением уравнения (1) .оно быть не может. Уравнение (1) решений не имеет.

Этот пример показывает, что при умножении обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, и при сокращении алгебраических дробей может получиться уравнение, неравносильное данному, а именно: могут появиться посторонние корни.

Отсюда делаем такой вывод. При решении уравнения, содержащего неизвестное в знаменателе, полученные корни надо проверять подстановкой в первоначальное уравнение. Посторонние корни надо отбросить.

Приглашаем тебя на урок о том, решать уравнения с дробями.Скорее всего, тебе уже приходилось сталкиваться с такими уравнениями в прошлом, так что на этом уроке нам предстоит повторить и обобщить те сведения, которые тебе известны.

Больше уроков на сайте

Дробно-рациональным называется уравнение, в котором есть рациональные дроби, то есть переменная в знаменателе. Скорее всего, тебе уже приходилось сталкиваться с такими уравнениями в прошлом, так что на этом уроке нам предстоит повторить и обобщить те сведения, которые тебе известны.

Сначала я предлагаю обратиться к предыдущему уроку данной темы – к уроку «Решение квадратных уравнений». На том уроке был рассмотрен пример решения дробно-рационального уравнения. Рассмотрим его

Решение этого уравнения выполнено в несколько этапов:

• Преобразование уравнения, содержащего рациональные дроби.
• Переход к целому уравнению и упрощение его;
• Решение квадратного уравнения.

Через первые 2 этапа необходимо пройти при решении любого дробно-рационального уравнения. Третий этап – необязателен, так как уравнение, полученное в результате упрощений, может быть не квадратным, а линейным; решать линейное уравнение – намного проще. Есть еще один важный этап при решении дробно-рационального уравнения. Он будет виден при решении следующего уравнения.

что следует сделать в первую очередь? – Конечно же, привести дроби к общему знаменателю. И очень важным является найти именно наименьший общий знаменатель, иначе, далее, в процессе решения, уравнение будет усложнено. Тут заметим, что знаменатель последней дроби можно разложить на множители у и у+2 . Вот именно это произведение и будет общим знаменателем в данном уравнении. Теперь нужно определить дополнительные множители для каждой из дробей. Вернее, для последней дроби такой множитель не понадобится, так как ее знаменатель равен общему. Вот теперь, когда все дроби имеют одинаковые знаменатели, можно перейти к целому уравнению, составленному из одних числителей. Но необходимо cделать одно замечание, о том, что найденное значение неизвестной не может обращать в ноль ни один из знаменателей . Это – ОДЗ: у≠0, у≠2 . На этом окончен первый из описанных ранее этапов решения и переходим ко второму – упрощаем полученное целое уравнение. Для этого – раскрываем скобки, переносим все слагаемые в одну часть уравнения и приводим подобные. Выполни это самостоятельно и проверь – верны ли мои вычисления, в которых получено уравнение 3у 2 – 12у = 0. Это уравнение – квадратное, оно записано в стандартном виде, и один из его коэффициентов равен нулю.