Уравнение плоскости. Как составить уравнение плоскости?
Взаимное расположение плоскостей. Задачи

Пространственная геометрия не намного сложнее «плоской» геометрии, и наши полёты в пространстве начинаются с данной статьи. Для усвоения темы необходимо хорошо разобраться в векторах , кроме того, желательно быть знакомым с геометрией плоскости – будет много похожего, много аналогий, поэтому информация переварится значительно лучше. В серии моих уроков 2D-мир открывается статьёй Уравнение прямой на плоскости . Но сейчас Бэтмен сошёл с плоского экрана телевизора и стартует с космодрома Байконур.

Начнём с чертежей и обозначений. Схематически плоскость можно нарисовать в виде параллелограмма, что создаёт впечатление пространства:

Плоскость бесконечна, но у нас есть возможность изобразить лишь её кусочек. На практике помимо параллелограмма также прорисовывают овал или даже облачко. Мне по техническим причинам удобнее изображать плоскость именно так и именно в таком положении. Реальные плоскости, которые мы рассмотрим в практических примерах, могут располагаться как угодно – мысленно возьмите чертёж в руки и покрутите его в пространстве, придав плоскости любой наклон, любой угол.

Обозначения : плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами , видимо, чтобы не путать их с прямой на плоскости или с прямой в пространстве . Я привык использовать букву . На чертеже именно буква «сигма», а вовсе не дырочка. Хотя, дырявая плоскость, это, безусловно, весьма забавно.

В ряде случаев для обозначения плоскостей удобно использовать те же греческие буквы с нижними подстрочными индексами, например, .

Очевидно, что плоскость однозначно определяется тремя различными точками, не лежащими на одной прямой. Поэтому достаточно популярны трёхбуквенные обозначения плоскостей – по принадлежащим им точкам, например, и т.д. Нередко буквы заключают в круглые скобки: , чтобы не перепутать плоскость с другой геометрической фигурой.

Для опытных читателей приведу меню быстрого доступа :

• Как составить уравнение плоскости по точке и двум векторам?
• Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

и мы не будем томиться долгими ожиданиями:

Общее уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости имеет вид , где коэффициенты одновременно не равны нулю.

Ряд теоретических выкладок и практических задач справедливы как для привычного ортонормированного базиса, так и для аффинного базиса пространства (если масло - масляное, вернитесь к уроку Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов ). Для простоты будем полагать, что все события происходят в ортонормированном базисе и декартовой прямоугольной системе координат.

А теперь немного потренируем пространственное воображение. Ничего страшного, если у вас оно плохое, сейчас немного разовьём. Даже для игры на нервах нужны тренировки.

В самом общем случае, когда числа не равны нулю, плоскость пересекает все три координатные оси. Например, так:

Ещё раз повторю, что плоскость бесконечно продолжается во все стороны, и у нас есть возможность изобразить только её часть.

Рассмотрим простейшие уравнения плоскостей:

Как понимать данное уравнение? Вдумайтесь: «зет» ВСЕГДА, при любых значениях «икс» и «игрек» равно нулю. Это уравнение «родной» координатной плоскости . Действительно, формально уравнение можно переписать так: , откуда хорошо видно, что нам по барабану, какие значения принимают «икс» и «игрек», важно, что «зет» равно нулю.

Аналогично:
– уравнение координатной плоскости ;
– уравнение координатной плоскости .

Немного усложним задачу, рассмотрим плоскость (здесь и далее в параграфе предполагаем, что числовые коэффициенты не равны нулю). Перепишем уравнение в виде: . Как его понимать? «Икс» ВСЕГДА, при любых значениях «игрек» и «зет» равно некоторому числу . Эта плоскость параллельна координатной плоскости . Например, плоскость параллельна плоскости и проходит через точку .

Аналогично:
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости ;
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости .

Добавим членов: . Уравнение можно переписать так: , то есть «зет» может быть любым. Что это значит? «Икс» и «игрек» связаны соотношением , которое прочерчивает в плоскости некоторую прямую (узнаёте уравнение прямой на плоскости ?). Поскольку «зет» может быть любым, то эта прямая «тиражируется» на любой высоте. Таким образом, уравнение определяет плоскость, параллельную координатной оси

Аналогично:
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси ;
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси .

Если свободные члены нулевые, то плоскости будут непосредственно проходить через соответствующие оси. Например, классическая «прямая пропорциональность»: . Начертите в плоскости прямую и мысленно размножьте её вверх и вниз (так как «зет» любое). Вывод: плоскость, заданная уравнением , проходит через координатную ось .

Завершаем обзор: уравнение плоскости проходит через начало координат. Ну, здесь совершенно очевидно, что точка удовлетворяет данному уравнению.

И, наконец, случай, который изображён на чертеже: – плоскость дружит со всеми координатными осями, при этом она всегда «отсекает» треугольник, который может располагаться в любом из восьми октантов.

Линейные неравенства в пространстве

Для понимания информации необходимо хорошо изучить линейные неравенства на плоскости , поскольку многие вещи буду похожи. Параграф будет носить краткий обзорный характер с несколькими примерами, так как материал на практике встречается довольно редко.

Если уравнение задаёт плоскость, то неравенства
задают полупространства . Если неравенство нестрогое (два последних в списке), то в решение неравенства кроме полупространства входит и сама плоскость.

Пример 5

Найти единичный нормальный вектор плоскости .

Решение : Единичный вектор – это вектор, длина которого равна единице. Обозначим данный вектор через . Совершенно понятно, что векторы коллинеарны:

Сначала из уравнения плоскости снимем вектор нормали: .

Как найти единичный вектор? Для того чтобы найти единичный вектор , нужно каждую координату вектора разделить на длину вектора .

Перепишем вектор нормали в виде и найдём его длину:

Согласно вышесказанному:

Ответ :

Проверка: , что и требовалось проверить.

Читатели, которые внимательно изучили последний параграф урока , наверное, заметили, что координаты единичного вектора – это в точности направляющие косинусы вектора :

Отвлечёмся от разобранной задачи: когда вам дан произвольный ненулевой вектор , и по условию требуется найти его направляющие косинусы (см. последние задачи урока Скалярное произведение векторов ), то вы, по сути, находите и единичный вектор, коллинеарный данному. Фактически два задания в одном флаконе.

Необходимость найти единичный вектор нормали возникает в некоторых задачах математического анализа.

С выуживанием нормального вектора разобрались, теперь ответим на противоположный вопрос:

Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

Эту жёсткую конструкцию вектора нормали и точки хорошо знает мишень для игры в дартс. Пожалуйста, вытяните руку вперёд и мысленно выберите произвольную точку пространства, например, маленькую кошечку в серванте. Очевидно, что через данную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вашей руке.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , выражается формулой:

А именно, о том, что вы видите в заголовке. По существу, это «пространственный аналог» задачи нахождения касательной и нормали к графику функции одной переменной, и поэтому никаких трудностей возникнуть не должно.

Начнём с базовых вопросов: ЧТО ТАКОЕ касательная плоскость и ЧТО ТАКОЕ нормаль? Многие осознают эти понятия на уровне интуиции. Самая простая модель, приходящая на ум – это шар, на котором лежит тонкая плоская картонка. Картонка расположена максимально близко к сфере и касается её в единственной точке. Кроме того, в точке касания она закреплена торчащей строго вверх иголкой.

В теории существует довольно остроумное определение касательной плоскости. Представьте произвольную поверхность и принадлежащую ей точку . Очевидно, что через точку проходит много пространственных линий , которые принадлежат данной поверхности. У кого какие ассоциации? =) …лично я представил осьминога. Предположим, что у каждой такой линии существует пространственная касательная в точке .

Определение 1 : касательная плоскость к поверхности в точке – это плоскость , содержащая касательные ко всем кривым, которые принадлежат данной поверхности и проходят через точку .

Определение 2 : нормаль к поверхности в точке – это прямая , проходящая через данную точку перпендикулярно касательной плоскости.

Просто и изящно. Кстати, чтобы вы не померли со скуки от простоты материала, чуть позже я поделюсь с вами одним изящным секретом, который позволяет РАЗ И НАВСЕГДА забыть о зубрёжке различных определений.

С рабочими формулами и алгоритмом решения познакомимся прямо на конкретном примере. В подавляющем большинстве задач требуется составить и уравнение касательной плоскости, и уравнения нормали:

Пример 1

Решение :если поверхность задана уравнением (т.е. неявно) , то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке можно найти по следующей формуле:

Особое внимание обращаю на необычные частные производные – их не следует путать с частными производными неявно заданной функции (хотя поверхность задана неявно) . При нахождении этих производных нужно руководствоваться правилами дифференцирования функции трёх переменных , то есть, при дифференцировании по какой-либо переменной, две другие буквы считаются константами:

Не отходя от кассы, найдём частную производную в точке:

Аналогично:

Это был самый неприятный момент решения, в котором ошибка если не допускается, то постоянно мерещится. Тем не менее, здесь существует эффективный приём проверки, о котором я рассказывал на уроке Производная по направлению и градиент .

Все «ингредиенты» найдены и теперь дело за аккуратной подстановкой с дальнейшими упрощениями:

– общее уравнение искомой касательной плоскости.

Настоятельно рекомендую проконтролировать и этот этап решения. Сначала нужно убедиться, что координаты точки касания действительно удовлетворяют найденному уравнению:

– верное равенство.

Теперь «снимаем» коэффициенты общего уравнения плоскости и проверяем их на предмет совпадения либо пропорциональности с соответствующими значениями . В данном случае пропорциональны. Как вы помните из курса аналитической геометрии , – это вектор нормали касательной плоскости, и он же – направляющий вектор нормальной прямой. Составим канонические уравнения нормали по точке и направляющему вектору :

В принципе, знаменатели можно сократить на «двойку», но особой надобности в этом нет

Ответ :

Уравнения не возбраняется обозначить какими-нибудь буквами, однако, опять же – зачем? Здесь и так предельно понятно, что к чему.

Следующие два примера для самостоятельного решения. Небольшая «математическая скороговорка»:

Пример 2

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

И задание, интересное с технической точки зрения:

Пример 3

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке

В точке .

Тут есть все шансы не только запутаться, но и столкнуться с трудностями при записи канонических уравнений прямой . А уравнения нормали, как вы, наверное, поняли, принято записывать именно в таком виде. Хотя, по причине забывчивости либо незнания некоторых нюансов более чем приемлема и параметрическая форма.

Примерные образцы чистового оформления решений в конце урока.

В любой ли точке поверхности существует касательная плоскость? В общем случае, конечно же, нет. Классический пример – это коническая поверхность и точка – касательные в этой точке непосредственно образуют коническую поверхность, и, разумеется, не лежат в одной плоскости. В неладах легко убедиться и аналитически: .

Другим источником проблем является факт несуществования какой-либо частной производной в точке. Однако это ещё не значит, что в данной точке нет единой касательной плоскости.

Но то была, скорее, научно-популярная, нежели практически значимая информация, и мы возвращаемся к делам насущным:

Как составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке,
если поверхность задана явной функцией ?

Перепишем её в неявном виде :

И по тем же принципам найдём частные производные:

Таким образом, формула касательной плоскости трансформируется в следующее уравнение:

И соответственно, канонические уравнения нормали:

Как нетрудно догадаться, – это уже «настоящие» частные производные функции двух переменных в точке , которые мы привыкли обозначать буквой «зет» и находили 100500 раз.

Заметьте, что в данной статье достаточно запомнить самую первую формулу, из которой в случае необходимости легко вывести всё остальное (понятно, обладая базовым уровнем подготовки) . Именно такой подход следует использовать в ходе изучения точных наук, т.е. из минимума информации надо стремиться «вытаскивать» максимум выводов и следствий. «Соображаловка» и уже имеющиеся знания в помощь! Этот принцип полезен ещё и тем, что с большой вероятностью спасёт в критической ситуации, когда вы знаете очень мало.

Отработаем «модифицированные» формулы парой примеров:

Пример 4

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Небольшая тут накладка получилась с обозначениями – теперь буква обозначает точку плоскости , но что поделать – такая уж популярная буква….

Решение : уравнение искомой касательной плоскости составим по формуле:

Вычислим значение функции в точке :

Вычислим частные производные 1-го порядка в данной точке:

Таким образом:

аккуратно, не спешим:

Запишем канонические уравнения нормали в точке :

Ответ :

И заключительный пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Заключительный – потому, что фактически все технические моменты я разъяснил и добавить особо нечего. Даже сами функции, предлагаемые в данном задании, унылы и однообразны – почти гарантированно на практике вам попадётся «многочлен», и в этом смысле Пример №2 с экспонентой смотрится «белой вороной». Кстати, гораздо вероятнее встретить поверхность, заданную уравнением и это ещё одна причина, по которой функция вошла в статью «вторым номером».

И напоследок обещанный секрет: так как же избежать зубрёжки определений? (я, конечно, не имею в виду ситуацию, когда студент что-то лихорадочно зубрит перед экзаменом)

Определение любого понятия/явления/объекта, прежде всего, даёт ответ на следующий вопрос: ЧТО ЭТО ТАКОЕ? (кто/такая/ такой/такие) . Осознанно отвечая на данный вопрос, вы должны постараться отразить существенные признаки, однозначно идентифицирующие то или иное понятие/явление/объект. Да, поначалу это получается несколько косноязычно, неточно и избыточно (препод поправит =)), но со временем развивается вполне достойная научная речь.

Потренируйтесь на самых отвлечённых объектах, например, ответьте на вопрос: кто такой Чебурашка? Не так-то всё просто;-) Это «сказочный персонаж с большими ушами, глазами и коричневой шерстью»? Далеко и очень далеко от определения – мало ли существует персонажей с такими характеристиками…. А вот это уже гораздо ближе к определению: «Чебурашка – это персонаж, придуманный писателем Эдуардом Успенским в 1966 г, который …(перечисление основных отличительных признаков)» . Обратите внимание, как грамотно начата

Нормаль плоскости n (вектор нормали к плоскости) – это всякий направленный перпендикуляр к ней (ортогональный вектор). Последующие выкладки по определении нормали зависят от метода задания плоскости.

Инструкция

1. Если задано всеобщее уравнение плоскости – AX+BY+CZ+D=0 либо его форма A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, то дозволено сразу записать результат – n(А, В, С). Дело в том, что это уравнение было получено, как задача определения уравнения плоскости по нормали и точке.

2. Для приобретения всеобщего результата, вам потребуется векторное произведение векторов из-за того, что последнее неизменно перпендикулярно начальным векторам. Выходит, векторным произведением векторов, является определенный вектор, модуль которого равен произведению модуля первого (а) на модуль второго (b) и на синус угла между ними. При этом данный вектор (обозначьте его через n) ортогонален a и b – это основное. Тройка этих векторов правая, то есть из конца n кратчайший поворот от a к b совершается вопреки часовой стрелки. – одно из общепризнанных обозначений векторного произведения. Для вычисления векторного произведения в координатной форме, применяется вектор-определитель (см. рис.1)

3. Для того дабы не путаться со знаком «-», перепишите итог в виде: n={nx, ny, nz}=i(aybz-azby)+j(azbx-axbz)+k(axby-aybx), и в координатах: {nx, ny, nz}={(aybz-azby), (azbx-axbz), (axby-aybx)}.Больше того, чтобы не путаться с численными примерами выпишете все полученные значения по отдельности: nx=aybz-azby, ny=azbx-axbz, nz=axby-aybx.

4. Вернитесь к решению поставленной задачи. Плоскость дозволено задать разными методами. Пускай нормаль к плоскости определяется двумя неколлинеарными векторами, причем сразу численно. Пускай даны векторы a(2, 4, 5) и b(3, 2, 6). Нормаль к плоскости совпадает с их векторным произведением и, как только что было выяснено будет равна n(nx, ny, nz),nx=aybz-azby, ny=azbx-axbz, nz=axby-aybx. В данном случае ax=2, ay=4, az=5, bx=3, by=2, bz=6. Таким образом, nx=24-10=14, ny=12-15=-3, nz=4-8=-4. Нормаль обнаружена – n(14, -3, -4). При этом она является нормалью к целому семейству плоскостей.

Под математическим термином нормаль прячется больше привычное на слух представление перпендикуляра. То есть задача нахождения нормали подразумевает поиск уравнения прямой, перпендикулярной к заданной косой либо поверхности, проходящей через определенную точку. В зависимости от того, на плоскости либо в пространстве требуется обнаружить нормаль , данная задача решается по-различному. Разглядим оба варианта задачи.

Вам понадобится

• умение находить производные функции, знание находить частные производные функции нескольких переменных

Инструкция

1. Нормаль к косой, заданной на плоскости в виде уравнения у = f(x).Находим значение функции, которая определяет уравнение данной косой в точке, в которой ищется уравнение нормали: а = f(x0). Находим производную к данной функции: f"(x). Ищем значение производной в этой же точке: B = f"(x0). Вычисляем значение дальнейшего выражения: C = a – B*x0. Составляем уравнение нормали, которое будет иметь вид: у = B*x + C.

2. Нормаль к поверхности либо косой, заданной в пространстве в виде уравнения f = f(x,y,z).Находим частные производные к данной нам функции: f’x(x,y,z), f’y(x,y,z), f’z(x,y,z). Ищем значение этих производных в точке М(x0,y0,z0) – точка, в которой нужно обнаружить уравнение нормали к поверхности либо пространственной косой: A = f’x(x0,y0,z0), B = f’y(x0,y0,z0), C = f’z(x0,y0,z0). Составляем уравнение нормали, которое будет иметь вид: (x – x0)/A = (y – y0)/B = (z – z0)/C

3. Пример:Обнаружим уравнение нормали к функции у = х – х^2 в точке х = 1.Значение функции в данной точке а = 1 – 1 = 0.Производная к функции у’ = 1 – 2х, в данной точке В = у"(1) = -1.Вычисляем С = 0 – (-1)*1 = 1.Желанное уравнение нормали имеет вид: у = -х + 1

Видео по теме

Полезный совет
Частные производные всякий функции нетрудно обнаружить, представив, что все переменные, помимо той которая является исследуемой – константы.

Задача поиска вектора нормали прямой на плоскости и плоскости в пространстве слишком примитивна. Реально она завершается записью всеобщих уравнений прямой либо плоскости. От того что кривая на плоскости каждого лишь частный случай поверхности в пространстве, то именно о нормалях к поверхности и пойдет речь.

Инструкция

1. 1-й метод Данный метод самый примитивный, но для его понимания требуется умение представления скалярного поля. Однако, и неискушенный в этом вопросе читатель сумеет применять результирующие формулы данного вопроса.

2. Знаменито, что скалярное поле f задается как f=f(x, y, z), а любая поверхность при этом – это поверхность яруса f(x, y, z)=C (C=const). Помимо того, нормаль поверхности яруса совпадает с градиентом скалярного поля в заданной точке.

3. Градиентом скалярно поля (функции 3 переменных) именуется вектор g=gradf=iдf/дx+jдf/дy+kдf/дz={дf/дx, дf/дy, дf/дz}. Потому что длина нормали значения не имеет, остается лишь записать результат. Нормаль к поверхностиf(x, y, z)-C=0 в точкеM0(x0, y0, z0) n=gradf=iдf/дx+jдf/дy+kдf/дz={дf/дx, дf/дy, дf/дz}.

4. 2-й метод Пускай поверхность задана уравнением F(x, y, z)=0. Дабы дозволено было в будущем провести аналогии с первым методом, следует рассматривать, что производная непрерывной равна нулю, и F задается как f(x, y, z)-C=0 (C=const). Если провести сечение этой поверхности произвольной плоскостью, то возникшую пространственную кривую дозволено считать годографом какой-нибудь вектор-функции r(t)= ix(t)x+jy(t)+kz(t). Тогда производная вектора r’(t)= ix’(t)+jy’(t)+kz’(t) направлена по касательной в некоторой точке M0(x0, y0, z0) поверхности (см. рис.1).

5. Чтобы не появилось путаницы, нынешние координаты касательной прямой следует обозначить, скажем, курсивом (x, y, z). Канонические уравнение касательной прямой, с учетом, что r’(t0) – направляющий вектор, записывается как (x-x(t0))/(dx(t0)/dt)= (y-y(t0))/(dy(t0)/dt)= (z-z(t0))/(dz(t0)/dt).

6. Подставив координаты вектор-функции в уравнение поверхности f(x, y, z)-C=0 и продифференцировав по t вы получите (дf/дx)(дx/дt)+(дf/дy) (дy/дt)+(дf/дz)(дz/дt)=0. Равенство представляет собой скалярное произведение некоторого вектора n(дf/дx, дf/дy, дf/дz) и r’(x’(t), y’(t), z’(t)). Потому что оно равно нулю, то n(дf/дx, дf/дy, дf/дz) и есть желанный вектор нормали . Видимо, что итоги обоих методов одинаковы.

7. Пример (имеет теоретическое значение). Обнаружить вектор нормали к поверхности заданной типичным уравнением функции 2-х переменных z=z(x, y). Решение. Перепишите это уравнение в форме z-z(x, y)=F(x, y, z)=0. Следуя любому из предложных методов, получается, что n(-дz/дx, -дz/дy, 1) – желанный вектор нормали .

Вектор нормали к поверхности в точке совпадает с нормалью к касательной плоскости в этой точке.

Вектор нормали к поверхности в данной точке - это единичный вектор , приложенный к данной точке и параллельный направлению нормали. Для каждой точки гладкой поверхности можно задать два нормальных вектора, отличающихся направлением. Если на поверхности можно задать непрерывное поле нормальных векторов, то говорят, что это поле задает ориентацию поверхности (то есть выделяет одну из сторон). Если этого сделать нельзя, поверхность называется неориентируемой .

Аналогично определяется вектор нормали к кривой в данной точке. Очевидно, что к кривой к данной точке можно приложить бесконечно много не параллельных векторов нормали (аналогично тому, как к поверхности можно приложить бесконечно много не параллельных касательных векторов). Среди них выбирают два, ортогональных друг к другу: вектор главной нормали, и вектор бинормали .

См. также

Литература

• Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия (6-е издание). М.: Наука, 1974 (djvu)

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Битва при Треббии (1799)
• Граммонит

Смотреть что такое "Нормаль" в других словарях:

НОРМАЛЬ - (фр.). Перпендикуляр к касательной, проведенной к кривой, в данной точке, нормаль которой отыскивается. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. НОРМАЛЬ перпендикулярная линия к касательной, проведенной к… … Словарь иностранных слов русского языка

нормаль - и, ж. normale f. <лат. normalis. 1. мат. Перпендикуляр к касательной прямой или плоскости, проходящий через точку касания. БАС 1. Нормальная линия, или нормаль. В аналитической геометрии так называется прямая линия, перпендикулярная к… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

нормаль - перпендикуляр. Ant. параллель Словарь русских синонимов. нормаль сущ., кол во синонимов: 3 бинормаль (1) … Словарь синонимов

НОРМАЛЬ - (от лат. normalis прямой) к кривой линии (поверхности) в данной ее точке прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной прямой (касательной плоскости) в этой точке …

НОРМАЛЬ - устаревшее название стандарта … Большой Энциклопедический словарь

НОРМАЛЬ - НОРМАЛЬ, нормали, жен. 1. Перпендикуляр к касательной прямой или плоскости, проходящий через точку касания (мат.). 2. Деталь установленного заводом образца (тех.). Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

нормаль - нормальный вертикальный стандартный реальный — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы нормальныйвертикальныйстандартныйреальный EN normal … Справочник технического переводчика

нормаль - и; ж. [от лат. normalis прямолинейный] 1. Матем. Перпендикуляр к касательной прямой или плоскости, проходящей через точку касания. 2. Техн. Деталь установленного образца. * * * нормаль I (от лат. normalis прямой) к кривой линии (поверхности) в… … Энциклопедический словарь

НОРМАЛЬ - (франц. normal нормаль, норма, от лат. normalis прямой) 1) Н. в стандарт и з а ц и и устаревшее назв. стандарта. 2) Н. в математике Н. к кривой (поверхности) в данной точке наз. прямую, проходящую через эту точку и перпендикулярную к касат.… … Большой энциклопедический политехнический словарь

нормаль - normalė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. normal vok. Normale, f rus. нормаль, f pranc. normale, f … Fizikos terminų žodynas

Книги

• Геометрия алгебраических уравнений, разрешимых в радикалах: С приложениями в численных методах и вычислительной геометрии , Кутищев Г.П.. В этой книге, на теоретическом уровне несколько выше школьного, очень подробно рассмотрены алгебраические уравнения, допускающие решение в элементарных операциях, или решение в радикалах. Эти…