1 Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

В статье рассматривается задача выбора метода формирования весов критериев, предназначенных для оценки инновационных проектов в процессе экспертизы. Работа с инновационными проектами связана с риском, поэтому необходимо разрабатывать и использовать методы для управления ими с учетом особенностей этой деятельности. Корректная оценка соотношения важности критериев играет значительную роль в достоверности и показательности конечных результатов экспертизы, на основе которых принимается решение о принятии или отклонении проекта. Одним из популярных методов получения весов является метода анализа иерархий Т.Саати. Авторами предложено использование разработанной модификации данного метода, учитывающей особенности его применения в области управления инновационными проектами. Предлагаемая адаптация метода реализована с целью упрощения его практического использования. В основу модификации метода положено изменение шкалы оценки критериев.

инновационные проекты

экспертиза

метод анализа иерархий

критерий оценки

парное сравнение

2. Сидоренко Е. В., Тихомирова А. Н. Математические способы анализа массивов данных в целях принятия срочных управленческих решений. Пятый Международный конгресс «Роль бизнеса в трансформации российского общества - 2010», Москва, Московская финансово-промышленная академия, 12-16 апреля 2010 г.: Сборник тезисов Пятого Международного конгресса «Роль бизнеса в трансформации российского общества - 2010». - М.: ООО «Global Conferences», 2010. - С. 336-338.

3. Сидоренко Е. В., Тихомирова А. Н. Средства визуализации и отображения взаимосвязей финансовых показателей в системах поддержки принятия управленческих решений // Аудит и финансовый анализ. - 2010. - № 2. - С. 354-357.

4. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. - М.: Радио и связь, 1993. - 278с.

5. Саати Т. Принятие решений при зависимостях и обратных связях: аналитические сети. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. - 360с.

Введение

В настоящее время актуальной является проблема повышения эффективности управления инновационными проектами. Поскольку финансированием инновационных проектов в большинстве случаев занимаются различные инвестиционные компании, в каждой из которых есть свои особенности управления, поставленные задачи и история существования, для снижения рисков, связанных с вложением в инновационные проекты, изобретаются свои специфические средства и инструменты управления. Успешная работа по анализу инновационных проектов основана на применении многочисленных методов, применяющихся как при построении общей модели работы с проектами, так и на отдельных этапах процесса прохождения проекта внутри компании.

Одним из наиболее важных этапов работы с проектами в компании является экспертиза этих проектов. В процессе проведения экспертизы заявка, которая или будет отклонена, или станет финансируемым проектом, подвергается разносторонним исследованиям, в которых участвуют эксперты различного профиля.

Экспертиза, как правило, представляет собой процесс, в котором участвует группа высококвалифицированных и узкоспециализированных экспертов, результатом которого является набор экспертных заключений или одно сводное заключение.

Однако для получения информации от экспертов, которая достоверно отображает перспективы и недостатки анализируемого проекта, недостаточно просто найти хороших экспертов. Для получения корректных и показательных экспертных заключений необходимо определить критерии, по которым эксперты должны анализировать заявку.

Различие критериев у разных компаний может объясняться как разным финансовым положением, так и различными приоритетами и целями. По этой причине каждая организация должна самостоятельно формировать свой собственный список важных для нее критериев оценки проекта.

Однако после формирования этого списка перед всеми компаниями встает задача по определению относительной важности и значимости критериев. Для решения этой задачи можно использовать различные методы.

Наиболее распространенным методом является формирование балльной оценки, при котором каждому из критериев ставится определенный балл и относительную важность критериев можно оценить путем сравнения присвоенных им баллов. На сегодняшний день достаточно широкое распространение получил способ формирования весов критериев, построенный на методе анализа иерархии Т. Саати . Главная идея данного метода состоит в парном сопоставлении критериев. Все критерии, предназначенные для анализа проекта, оцениваются путем построения матрицы парных сравнений. Матрица парных сравнений представляет собой матрицу, в которой критерий, расположенный в строке, сравнивается со всеми критериями, указанными в столбцах матрицы (табл.1.). Например, если критерий №1 важнее критерия №2 в a 12 раз, то элемент (1, 2) матрицы равен a 12 . Исходя из этого, главная диагональ матрицы всегда заполнена единицами.

Таблица 1. Матрица парных сравнений

	Критерий 1	Критерий 2	Критерий 3
Критерий 1
Критерий 2
Критерий 3

Логично предположить, что если критерий №1 важнее критерия №2 в a 12 a 23 a 12 ·a 23 раз. Однако для матриц, заполняемых реальными людьми, это далеко не всегда так. Это связано с тем, что заполнение матрицы суждений осуществляется экспертом, который может допустить погрешность в определении относительной важности критериев по психологическим причинам. Одной из задач метода иерархии Т. Саати является стремление снизить влияние человеческого фактора на итоговый смысловой результат. Для определения степени корректности данных в заполненной матрице введено понятие меры согласованности матрицы. Для пояснения определения полностью согласованной матрицы приведен ее общий вид (табл.2.).

Таблица 2. Общий вид согласованной матрицы

Для обработки значений полученной матрицы сравнения вводится индекс согласованности, который показывает наличие логической связи между оцененными показателями. Для нахождения индекса согласованности положительной обратно симметричной матрицы (матрица парных сравнений обладает этими свойствами), необходимо найти максимальное собственное значение матрицы и ее размерность .

Индекс согласованности рассчитывается по формуле (1):

где - максимальное собственное значение,

n - размерность матрицы.

Если матрица согласована, то предположение о том, что если критерий №1 важнее критерия №2 в a 12 раз, а критерий №2 важнее критерия №3 в a 23 раз, то критерий №1 должен быть важнее критерия №3 ровно в a 12 · a 23 раз, всегда верно. Для такой матрицы ИС равняется нулю. Однако, как правило, при анализе данных, полученных экспертным путем, матрица не является полностью согласованной.

В разработанном Т. Саати методе анализа иерархий предлагается для парного сравнения критериев использовать шкалу оценки, которая содержит в себе числовые показатели от 1 до 9 и обратные им величины . Значения шкалы 1:9 отображают девять степеней превосходства одного критерия над другим, причем, пять значений являются основными (1,3,5,7,9) и четыре - промежуточными значениями (2,4,6,8). В случае, если рассматриваемый критерий является не более, а менее важным, чем тот, с которым его сравнивают, такое соотношение описывается также посредством девяти степеней сравнения, но представленных обратными величинами значений: 1, 1/2, 1/3, ..., 1/9.

При проведении процедуры сравнения критериев происходит заполнение экспертами соответствующих матриц. От каждого эксперта требуется заполнить только верхнюю часть матрицы (выше главной диагонали), поскольку при использовании данной методики предполагается, что если критериюi при сравнении с критериемj приписывается одно из чисел в диапазоне , то критерию j при сравнении с критериемi приписывается обратное значение.

После заполнения экспертом матрицы парных сравнений, необходимо провести проверку индекса согласованности матрицы. Для этого по формуле (1) рассчитывается ИС матрицы и сравнивается со средним индексом согласованности случайных матриц того же порядка. Соотношение этих индексов называется отношением согласованности (ОС).

На текущий момент для шкалы учеными рассчитаны случайные индексы согласованности (СИ) для обратно симметричных матриц размерностью от 1 до 15 (табл.3), взятые за основу при анализе полученных матриц на предмет согласованности. В своих работах Т. Саати считает приемлемым значение ОС меньшее или равное 0.10 .

Таблица 3. Средние случайные индексы согласованности для матриц разного порядка

Безусловно, использование для анализа важности критериев шкалы от 1 до 9 имеет свои преимущества. Однако, в ряде случаев, особенно, если это касается такого сложного аспекта, как анализ инновационных проектов, данная шкала не только является избыточной по своей сути, но и может стать причиной дополнительной погрешности в процессе выставления экспертом соответствующей оценки при парных сравнениях различных критериев.

На основе анализа мнения практикующих специалистов, работающих в области инноваций, которым приходится часто сталкиваться с проведением различного рода сравнений, выявлено, что целесообразным является использование более категоричной шкалы 1:5 (табл. 4). Это связано со спецификой области, для работы в которой производится адаптация метода анализа иерархий. В данной статье речь идет о сравнении инновационных проектов, при этом метод парного сравнения объектов Т. Саати применяется для определения весов критериев, по которым проекты впоследствии будут сравниваться. Поскольку сформированные веса критериев могут значительно повлиять на решение, принимаемое по проекту, необходимо, чтобы шкала, с помощью которой определяются в результате веса, была однозначной и конкретной.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что использование шкалы 1:5 является на практике более удобным, поскольку каждое численное значение имеет ярко выраженную смысловую трактовку. Кроме того, сравнение критериев посредством такой шкалы будет характеризоваться большей степенью уверенности эксперта. Это важный факт, так как в данном случае речь идет о работе с инновациями, а значит, ситуация осложняется различными рисками. При выборе каких-либо методов для организации работы с инновационными проектами, имеющими априори большую степень неопределенности, необходимо, во избежание накопления суммарной ошибки, выбирать методы, которые сами в себе имеют как можно меньшую степень неопределенности.

Кроме того, более четкое определение признаков, которое дает шкала 1:5, позволяет конкретизировать ситуацию без значимой потери точности, с одной стороны, и со значительным повышением комфортности использования этой шкалы - с другой стороны. В связи с выявленной потребностью шкала от 1 до 9 была заменена шкалой от 1 до 5. Для данной шкалы были описаны значения каждого из выставляемых баллов (табл.4).

Таблица 4. Модифицированная шкала относительной важности

Интенсивность относительной важности	Определение	Объяснение
	Несравнимы	Эксперт затрудняется при сравнении
	Одинаковая важность	Равная степень важности критериев i иj
	Не существенная степень важность	Критерий i несущественно важнее критерия j
	Существенная степень важность	Критерий i существенно важнее критерия j
	Промежуточные значения между двумя соседними значениями шкалы	Ситуация, когда необходимо компромиссное решение, 2 - критерий i имеет слабое преимущество перед критерием j , 4 - критерий i имеет заметное преимущество перед критерием j
Обратные величины приведенных выше чисел	Если критерию i при сравнении с критерием j приписывается одно из приведенных выше чисел, то критерию j при сравнении с критериемi приписывается обратное значение	Обоснованное предположение

Для обеспечения более комфортных условий сравнения для экспертов был введен дополнительный пункт шкалы - нулевое значение. Эксперт имеет возможность поставить 0 при сравнении двух критериев, если считает, что критерии несравнимы или сравнение лично для него крайне затруднительно.

Большая комфортность при использовании шкалы 1:5 объясняется легкостью в различии оценок критериев (рис.1). Три значения шкалы: 1, 3 и 5 выступают в виде главных при оценке относительной важности, а 2 и 4 - являются компромиссными, промежуточными вариантами выбора.

Рис. 1. Ключевые деления шкалы 1:5

Поскольку шкала была изменена, для корректной проверки согласованности соответствующих матриц необходимо провести расчет индексов согласованности случайных матриц данного типа. Для решения этой задачи для выбранной шкалы было сгенерировано по 100 случайных матриц порядка 3, 4 и 5. Полученные в результате расчетов СИ обозначены в таблице 5.

Таблица 5. СИ по шкале оценки от 1 до 5

В качестве примера для расчета отношения согласованности для матриц порядка 3, сформированных по шкале 1:5, был проведен анализ допустимого уровня согласованности матриц. Пороговым значением для шкалы 1:9 является уровень в 10 %. Для установления порогового значения при использовании шкалы 1:5 было проведено моделирование, заключающееся в анализе значений ОС матрицы при различных отклонениях экспертных оценок от оценок, соответствующих полностью согласованной матрице.

В рамках моделирования проводился анализ матриц со следующими отклонениями:

увеличение одной величины на 1 шаг;
уменьшение одной величины на 1 шаг;
увеличение двух величин на 1 шаг;
уменьшение двух величин на 1 шаг;
увеличение трех величин на 1 шаг;
уменьшение трех величин на 1 шаг;
увеличение одной и уменьшение другой величины на 1 шаг;
увеличение двух величин и уменьшение одной величины на 1 шаг;
увеличение одной и уменьшение двух величин на 1 шаг;
увеличение 1 величины на 2 шага;
уменьшение 1 величины на 2 шага.

Для каждой размерности матрицы был проведен аналогичный анализ для пяти различных исходных согласованных матриц. В результате проведенного моделирования было получено значение 12.7 %, которое соответствует максимальному отношению согласованности при отклонении мнения эксперта на один шаг от значения полностью согласованной матрицы. Значение 12.7 % было выбрано в качестве порогового значения допустимой согласованности матрицы, составленной по шкале 1:5.

Пороговое значение 12.7 % является обоснованным для матрицы размерностью 3. Для матриц другой размерности пороговое значение ОС должно быть рассчитано не только с учетом анализа отклонений матрицы от полностью согласованной, но и с учетом того, что при сравнении большего количества критериев ошибка эксперта может возрасти.

Таким образом, с учетом особенностей, присущих повседневной практической деятельности при оценке инновационных проектов, была проведена модификация метода Т. Саати. Основная цель модификации - повышение эффективности метода при его применении узкопрофильными специалистами для оценки перспективности и технической реализуемости инновационных проектов. Использование данной модификации метода определения относительной важности критериев при оценке проекта может повысить эффективность и достоверность такого этапа работы с инновационными проектами, как подготовка к проведению экспертизы. Данный момент является крайне важным, поскольку именно по установленным на этом этапе критериям происходит дальнейшая оценка проекта, а корректное соотношение критериев между собой по степени важности позволяет составить верное заключение по проекту.

Рецензенты:

Киреев Сергей Васильевич, д.ф.-м.н., профессор, декан факультета повышения квалификации и переподготовки кадров, Министерство образования и науки Российской Федерации, Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ» (НИЯУ МИФИ), г. Москва.
Гусева Анна Ивановна, д.т.н., профессор, профессор кафедры «Экономика и менеджмент в промышленности», Министерство образования и науки Российской Федерации, Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ» (НИЯУ МИФИ), г. Москва.

Библиографическая ссылка

Тихомирова А.Н., Сидоренко Е.В. МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ Т. СААТИ ДЛЯ РАСЧЕТА ВЕСОВ КРИТЕРИЕВ ПРИ ОЦЕНКЕ ИННОВАЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ // Современные проблемы науки и образования. – 2012. – № 2.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=6009 (дата обращения: 27.03.2019). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания» Метод анализа иерархий (Analytic Hierarchy Process - AHP), или подход аналитической иерархии предполагает декомпозицию проблемы на простые составляющие части и обработку суждений лица, принимающего решения (ЛПР). В результате определяется относительная значимость исследуемых альтернатив для всех критериев, находящихся в иерархии. Относительная значимость выражается численно в виде векторов приоритетов. Полученные таким образом значения векторов являются оценками в шкале отношений и соответствуют так называемым жестким оценкам.

Назначение . С помощью онлайн-калькулятора производятся вычисление коэффициентов важности для элементов каждого уровня - индексы однородности и отношения однородности .

Инструкция . Укажите количество уровней иерархии. Затем введите число критериев на каждом уровне. Нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word .

Постановка задачи, решаемой с помощью метода анализа иерархий, заключается обычно в следующем.
Дано: общая цель решения задачи; критерии оценки альтернатив; альтернативы. Требуется: выбрать наилучшую альтернативу.
Подход AHP состоит из совокупности этапов:
1. Структуризация задачи виде иерархической структуры с несколькими уровнями: цели – критерии – альтернативы.
2. Попарное сравнение элементов каждого уровня лицом, принимающим решения. Результаты сравнения имеют числовой характер.
3. Вычисление коэффициентов важности для элементов каждого уровня. Проверка согласованности суждений ЛПР.
Подсчет количественной оценки качества альтернатив. Выбор лучшей альтернативы.
Для установления относительной важности элементов иерархии используется шкала отношений. Данная шкала позволяет ЛПР ставить в соответствие степеням предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим некоторые числа (таблица 2).

Таблица 2. Шкала отношений

Степень значимости	Определение	Объяснение
1	Одинаковая значимость	Два действия вносят одинаковый вклад в достижение цели
3	Некоторое преобладание значимости одного действия над другим	Существуют соображения в пользу предпочтения одного из действий, однако эти соображения недостаточно убедительны
5	Существенная или сильная значимость	Имеются надежные данные или логические суждения для того, чтобы показать предпочтительность одного из действий
7	Очевидная или очень сильная значимость	Убедительное свидетельство в пользу одного действия перед другим
9	Абсолютная значимость	Свидетельства в пользу предпочтения одного действия перед другим в высшей степени убедительны
2, 4, 6, 8	Промежуточные значения между двумя соседними суждениями	Ситуация, когда необходимо компромиссное решение
Обратные величины приведенных выше величин	Если действию i при сравнением с действием j приписывается одно из определенных выше чисел, то действию j при сравнении с действием i приписывается обратное значение	Если согласованность была постулирована при получении N числовых значений для образования матрицы

При использовании указанной шкалы ЛПР, сравнивая два объекта в смысле достижения цели, расположенной на вышележащем уровне иерархии, должен поставить число в интервале от 1 до 9 или обратное значение.
Для этого в иерархии выделяют элементы двух типов: элементы – родители и элементы – потомки. Элементы – потомки воздействуют на соответствующие элементы вышестоящего уровня иерархии, являющиеся по отношению к первым элементами – родителями. Матрицы парных сравнений строятся для всех элементов – потомков, относящихся к определенному родителю. Парные сравнения производятся в терминах доминирования одного элемента над другим в соответствии со шкалой отношений.
Если элемент Е 1 доминирует над элементом Е 2 , то клетка матрицы, соответствующая строке Е 1 и столбцу Е 2 , заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке Е 2 и столбцу Е 1 , заполняется обратным к нему числом.
При проведении парных сравнений следует отвечать на вопросы: какой из двух сравниваемых элементов важнее или имеет большее воздействие, какой более вероятен и какой предпочтительнее.
При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из критериев более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию – какая из альтернатив более предпочтительна или более вероятна.

Теорема 1 . В положительной обратносимметрической квадратной матрице λ max ≥n.

Теорема 2 . Положительная обратносимметрическая квадратная матрица А согласованна тогда и только тогда, когда λ max =n.

Таким образом, для оценки однородности суждений эксперта можно использовать отклонение величины максимального собственного значения λ max от порядка матрицы n.
Согласованность суждения оценивается индексом однородности (индексом согласованности) или отношением однородности (отношением согласованности) в соответствии со следующими формулами:

M(ио) - среднее значение индекса однородности случайным образом составленной матрицы парных сравнений, которое основано на экспериментальных данных. Значение есть табличная величина, входным параметром выступает размерность матрицы (таблица 6).

Таблица 6. Среднее значение индекса однородности в зависимости от порядка матрицы

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
M(ио)	0	0	0,58	0,90	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49	1,51

В качестве допустимого используется значение OO≤0,10. Если для матрицы парных сравнений OO>0.1, то это свидетельствует о существенном нарушении логики суждений, допущенном экспертом при заполнении матрицы, поэтому эксперту предлагается пересмотреть данные, использованные для построения матрицы, чтобы улучшить однородность.

Пример . Рассмотрим матрицу парных сравнений и вычислим приближенное значение главного собственного вектора:

Просуммируем элементы каждой строки и найдем сумму всех элементов матрицы:

Нормализуя вектор W s делением каждой координаты на величину S, получаем приближенное значение главного собственного вектора:

Приближенное значение максимального собственного значения можно найти по формуле λ max =e T AW, рассмотренной выше:

При таком вычислении главного собственного вектора и максимального собственного значения может оказаться, что согласованная в действительности матрица является несогласованной по вычислениям и наоборот.
Пример. Вычислим отношение согласованности рассматриваемой выше матрицы, взяв в качестве максимального собственного значения его точное и приближенное число.

При большей погрешности метода вычисления главного собственного вектора, отношение согласованности матрицы парных сравнений могло оказаться больше 0.01 .
Желательно использовать процедуры точного нахождения собственных значений и векторов матриц. Такое пожелание превращается в требование в особо ответственных задачах.

Пример (из книги Т. Саати). Рассмотрим общее благополучие индивидуума – высший уровень иерархии. На этот уровень в основном влияют детские, юношеские и взрослые впечатления. Факторы развития и зрелости, отражающиеся в благополучии, могут включать как влияние отца и матери в отдельности, так и их совместное влияние как родителей, социоэкономический фон, отношения с братьями и сестрами, группу ровесников, школьное обучение, религиозный статус и т.д.
На перечисленные выше факторы, которые составляют второй уровень иерархии, влияют соответствующие критерии. Например, влияние отца может быть разбито на категории, включающие его темперамент, строгость, заботу и привязанность. Отношение с братьями и сестрами можно дальше характеризовать их количеством, разницей в возрасте, полом; моделирование воздействия и роли ровесников обеспечивает более яркую картину влияния друзей, обучения в школе и учителей.
В качестве альтернативной основы описания для второго уровня можно включить чувство собственного достоинства, уверенность в будущем, адаптируемость к новым людям и новым обстоятельствам и т.д., влияющих или находящихся под влиянием расположенных выше элементов.
Более полная основа психологической предыстории может включать несколько сотен элементов на каждом уровне, выбранных экспертами и расположенных таким образом, чтобы получить максимальное понимание рассматриваемого индивидуума.
Рассмотрим ограниченный случай, где испытуемый чувствует, что уверенность в его силы подорвана и его социальная приспособляемость ослаблена запретами в детстве. Ему задают вопросы только о детских впечатлениях и просят попарно установить связь между следующими элементами на каждом уровне.
Построим иерархию, в которой: ОБ – общее благополучие; Д – чувство собственного достоинства; У – чувство уверенности в будущем; А – способность адаптироваться к другим; П – явная привязанность, проявленная по отношению к субъекту; Э – идеи строгости, этики; Н – действительное наказание ребенка; Л – подчеркивание личной приспособляемости к другим; М – влияние матери; О – влияние отца; Р – влияние обоих родителей.

Рисунок 1 - Иерархическая схема общего благополучия индивидуума

Осуществим иерархический синтез:

Индивидууму посоветовали больше общаться с отцом с целью уравновешивания влияния родителей.
В приведенном примере некоторые матрицы несогласованные. Однако следует понимать, что человеку в данной ситуации нельзя было повторно задавать одни и те же вопросы до тех пор, пока все матрицы не стали бы однородными.
После решения задачи синтеза иерархии, оценивается однородность всей иерархии с помощью суммирования показателей однородности всех уровней, приведенных путем взвешивания к первому иерархическому уровню.

Для решения задач подобного рода в аналитическом планировании широко применяется метод анализа иерархий (далее МАИ), разработанный Т.Саати. Сегодня его используют уже повсеместно от риэлтеров, при оценке недвижимости, до кадровиков, при замещении вакантных должностей. Воспользуемся этим методом и мы для выбора хостинг-провайдера.

Первым этапом применения МАИ является структурирование проблемы выбора в виде иерархии или сети. В наиболее элементарном виде иерархия строится с вершины (цели), через промежуточные уровни-критерии (технико-экономические параметры) к самому нижнему уровню, который в общем случае является набором альтернатив (хостинг-провайдеров в нашем случае).

После иерархического воспроизведения проблемы устанавливаются приоритеты критериев и оценивается каждая из альтернатив по критериям. В МАИ элементы задачи сравниваются попарно по отношению к их воздействию на общую для них характеристику. Система парных сведений приводит к результату, который может быть представлен в виде обратно симметричной матрицы. Элементом матрицы a(i,j) является интенсивность проявления элемента иерархии i относительно элемента иерархии j, оцениваемая по шкале интенсивности от 1 до 9, предложенной автором метода, где оценки имеют следующих смысл:

Если при сравнении одного фактора i с другим j получено a(i,j) = b , то при сравнении второго фактора с первым получаем a(j,i) = 1/b.

Опыт показал, что при проведении попарных сравнений в основном ставятся следующие вопросы. При сравнении элементов А и Б:

Какой из них важнее или имеет большее воздействие?
Какой из них более вероятен?
Какой из них предпочтительнее?

Относительная сила, величина или вероятность каждого отдельного объекта в иерархии определяется оценкой соответствующего ему элемента собственного вектора матрицы приоритетов, нормализованного к единице. Процедура определения собственных векторов матриц поддается приближению с помощью вычисления геометрической средней.

Пусть:
A 1 ...A n - множество из n элементов;
W 1 ...W n - соотносятся следующим образом:

	A 1	...	A n
A 1	1	...	W 1 /W n
...	...	1	A n
A n	W n /W 1	...	1

Оценка компонент вектора приоритетов производится по схеме:

	A 1	...	A n
A 1	1	...	W 1 /W n	X 1 =(1(W 1 /W 2)...*(W 1 /W n)) 1/n	BEC(A 1)=X 1 /СУММА(X i)
...	...	1	A n	...	...
A n	W n /W 1	...	1	X n =((W n /W 1)...(W n /W n-1)*1) 1/n	BEC(A n)=X n /СУММА(X i)
				СУММА(X i)

Приоритеты синтезируются начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует элемент.

Весьма полезным побочным продуктом теории является так называемый индекс согласованности (ИС), который дает информацию о степени нарушения согласованности. Вместе с матрицей парных сравнений мы имеем меру оценки степени отклонения от согласованности. Если такие отклонения превышают установленные пределы, то тому, кто проводит суждения, следует перепроверить их в матрице.

ИС = (l max - n)/(n - 1)

Для наших матриц всегда l max і n.

Теперь сравним эту величину с той, которая получилась бы при случайном выборе количественных суждений из нашей шкалы, и образовании обратно симметричной матрицы. Ниже даны средние согласованности для случайных матриц разного порядка.

Если разделить ИС на число, соответствующее случайной согласованности матрицы того же порядка, получим отношение согласованности (ОС). Величина ОС должна быть порядка 10% или менее, чтобы быть приемлемой. В некоторых случаях допускается ОС до 20%, но не более, иначе надо проверить свои суждения.

С то – затраты на техническое обслуживание, включая заработную плату персонала ИС;

С лс – затраты, связанные с использованием глобальных вычислительных сетей (Internet и др.);

С ни – затраты на носители информации;С проч – прочие затраты.

Наибольший удельный вес в эксплуатационных затратах принадлежит заработной плате, амортизационным отчислениям, техническому обслуживанию .

Метод анализа иерархий (МАИ)

Метод анализа иерархий (МАИ) – математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений. МАИ не предписывает ЛПР, какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант (альтернативу), который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к ее решению. Этот метод разработан американским математиком Томасом Саати .

МАИ позволяет понятным и рациональным образом структурировать сложную проблему принятия решений в виде иерархии, сравнить и выполнить количественную оценку альтернативных вариантов решения.

Анализ проблемы принятия решений в МАИ начинается с построения иерархической структуры, которая включает цель, критерии, альтернативы и другие рассматриваемые факторы, влияющие на выбор. Эта структура отражает понимание проблемы лицом, принимающим решение. Каждый элемент иерархии может представлять различные аспекты решаемой задачи, причем во внимание могут быть приняты как материальные, так и нематериальные факторы, измеряемые количественные параметры и качественные характеристики, объективные данные и субъективные экспертные оценки.

Следующим этапом анализа является определение приоритетов, представляющих относительную важность или предпочтительность элементов построенной иерархической структуры, с помощью процедуры парных сравнений. Безразмерные приоритеты позволяют обоснованно сравнивать разнородные факторы, что является отличительной особенностью МАИ.

На заключительном этапе анализа выполняется синтез (линейная свертка) приоритетов на иерархии, в результате которой вычисляются приоритеты альтернативных решений относительно главной цели. Лучшей считается альтернатива с максимальным значением приоритета.

Порядок применения МАИ :

1) Построение качественной модели проблемы в виде иерархии, включающей цель, альтернативные варианты достижения цели и критерии для оценки качества альтернатив (см. рис. 3).

Иерархическая структура – это графическое представление проблемы в виде перевернутого дерева, где каждый элемент, за исключением самого верхнего, зависит от одного или более выше расположенных элементов. Часто в различных организациях распределение полномочий, руководство и эффективные коммуникации между сотрудниками организованы в иерархической форме.

Иерархические структуры используются для лучшего понимания сложной реальности: мы раскладываем исследуемую проблему на составные части; затем разбиваем на составные части получившиеся элементы и т. д. На каждом шаге важно фокусировать внимание на понимании текущего элемента, временно абстрагируясь от всех прочих компонентов. При проведении подобного анализа приходит понимание всей сложности и многогранности исследуемого предмета.

Когда мы решаем сложную проблему, мы можем использовать иерархию как инструмент для обработки и восприятия больших объемов информации. По мере проектирования этой структуры у нас формируется все более полное понимание проблемы.

Рис. 4. Простейшая иерархия МАИ

2) Определение приоритетов всех элементов иерархии с использованием метода парных сравнений.

Существуют специальные термины для описания иерархической структуры МАИ. Каждый уровень состоит из узлов. Элементы, исходящие из узла, принято называть его детьми (дочерними элементами). Элементы, из которых исходит узел, называются родительскими. Группы элементов, имеющие один и тот же родительский элемент, называются группами сравнения. Родительские элементы Альтернатив, как правило, исходящие из различных групп сравнения, называются покрывающими Критериями. Используя эти термины для описания представленной ниже диаграммы, можно сказать, что четыре Критерия – это дети Цели; в свою очередь, Цель – это родительский элемент для любого из Критериев. Каждая Альтернатива – это дочерний элемент каждого из включающих ее Критериев. Всего на диаграмме присутствует две группы сравнения: группа, состоящая из четырех Критериев и группа, включающая три Альтернативы. Вид любой иерархии МАИ будет

зависеть не только от объективного характера рассматриваемой проблемы, но и от знаний, суждений, системы ценностей, мнений, желаний и т. п. участников процесса. Опубликованные описания применений МАИ часто включают в себя различные схемы и объяснения представленных иерархий. Последовательное выполнение всех шагов МАИ предусматривает возможность изменения структуры иерархии, с целью включения в неё вновь появившихся, или ранее не считавшихся важными, Критериев и Альтернатив.

3) Синтез глобальных приоритетов альтернатив путем линейной свертки приоритетов элементов на иерархии.

Приоритеты – это числа, которые связаны с узлами иерархии. Они представляют собой относительные веса элементов в каждой группе. Подобно вероятностям, приоритеты – безразмерные величины, которые могут принимать значения от нуля до единицы. Чем больше величина приоритета, тем более значимым является соответствующий ему элемент. Сумма приоритетов элементов, подчиненных одному элементу выше лежащего уровня иерархии, равна единице. Приоритет цели по определению равен 1.0. Рассмотрим простой пример, поясняющий методику вычисления приоритетов (рис. 5).

Рис. 5. Простейшая иерархическая структура МАИ с приоритетами, определенными по умолчанию

На рисунке показана иерархия, в которой приоритеты всех элементов не устанавливались ЛПР. В таком случае по умолчанию приоритеты элементов считаются одинаковыми, то есть все четыре критерия имеют равную важность с точки зрения цели, а приоритеты всех альтернатив равны по всем критериями. Другими словами, альтернативы в этом примере неразличимы. Заметим, что сумма приоритетов элементов любого уровня, равна единице. Если бы альтернатив было две, то их приоритеты были бы равны 0.500, если бы критериев было 5, то приоритет каждого был бы равен 0.200. В этом простом примере приоритеты альтернатив по разным критериям могут не совпадать, что обычно и бывает на практике. Приведем пример, в котором локальные приоритеты альтернатив по разным критериям не совпадают. Глобальные приоритеты альтернатив относительно цели вычисляются путем умножения локального приоритета каждой альтернативы на приоритет каждого критерия и суммирования по всем критериям (рис. 6).

Рис. 6. Иерархическая структура МАИ, содержащая глобальные и локальные значения приоритетов по умолчанию

Если приоритеты критериев изменятся, то изменятся значения глобальных приоритетов альтернатив, следовательно, может измениться их порядок. На рисунке показано решение данной задачи с изменившимися значениями приоритетов критериев, при этом наиболее предпочтительной альтернативой становится A3 (рис. 7).

Рис. 7. Иерархическая структура МАИ, содержащая глобальные и локальные значения приоритетов по умолчанию

4) Проверка суждений на согласованность.

5) Принятие решения на основе полученных результатов.

Метод анализа иерархий Пример задачи многокритериального выбора с простейшей иерархией.

Метод Анализа Иерархий (МАИ) - математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений. МАИ не предписывает лицу, принимающему решение (ЛПР), какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант (альтернативу), который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к ее решению. Этот метод разработан американским математиком Томасом Саати, который написал о нем книги, разработал программные продукты и в течение 20 лет проводит симпозиумы ISAHP (англ. International Symposium on Analytic Hierarchy Process ). МАИ широко используется на практике и активно развивается учеными всего мира. В его основе наряду с математикой заложены и психологические аспекты. МАИ позволяет понятным и рациональным образом структурировать сложную проблему принятия решений в виде иерархии, сравнить и выполнить количественную оценку альтернативных вариантов решения. Метод Анализа Иерархий используется во всем мире для принятия решений в разнообразных ситуациях: от управления на межгосударственном уровне до решения отраслевых и частных проблем в бизнесе , промышленности , здравоохранении и образовании . Для компьютерной поддержки МАИ существуют программные продукты, разработанные различными компаниями. Анализ проблемы принятия решений в МАИ начинается с построения иерархической структуры, которая включает цель, критерии, альтернативы и другие рассматриваемые факторы, влияющие на выбор. Эта структура отражает понимание проблемы лицом, принимающим решение. Каждый элемент иерархии может представлять различные аспекты решаемой задачи, причем во внимание могут быть приняты как материальные, так и нематериальные факторы, измеряемые количественные параметры и качественные характеристики, объективные данные и субъективные экспертные оценки . Иными словами, анализ ситуации выбора решения в МАИ напоминает процедуры и методы аргументации, которые используются на интуитивном уровне. Следующим этапом анализа является определение приоритетов, представляющих относительную важность или предпочтительность элементов построенной иерархической структуры, с помощью процедуры парных сравнений. Безразмерные приоритеты позволяют обоснованно сравнивать разнородные факторы, что является отличительной особенностью МАИ. На заключительном этапе анализа выполняется синтез (линейная свертка) приоритетов на иерархии, в результате которой вычисляются приоритеты альтернативных решений относительно главной цели. Лучшей считается альтернатива с максимальным значением приоритета.

Пример задачи многокритериального выбора с простейшей иерархией

В данной задаче необходимо выбрать из трех кандидатов одного на должность руководителя. Кандидаты оцениваются по критериям: возраст, опыт, образование и личные качества. На рисунке показана иерархия для этой задачи. Простейшая иерархия содержит три уровня: цель, критерии и альтернативы. Числа на рисунке показывают приоритеты элементов иерархии с точки зрения цели, которые вычисляются в МАИ на основе парных сравнений элементов каждого уровня относительно связанных с ними элементами вышерасположенного уровня. Приоритеты альтернатив относительно цели (глобальные приоритеты) вычисляются на заключительном этапе метода путем линейной свертки локальных приоритетов всех элементов. В данном примере лучшим кандидатом является Дик, так как имеет максимальное значение глобального приоритета.

Сфера образования и научных исследований

Хотя для практического применения МАИ отсутствует необходимость специальной подготовки, основы метода преподают во многих учебных заведениях . Кроме того, этот метод широко применяется в сфере управления качеством и читается в рамках многих специализированных программ, таких как Six Sigma, Lean Six Sigma, и QFD . Около ста китайских университетов предлагают курсы по основам МАИ, и многие соискатели научных степеней выбирают МАИ в качестве объекта научных и диссертационных исследований. Опубликовано более 900 научных статей по данной тематике. Существует китайский научный журнал, специализирующийся в области МАИ . Раз в два года проводится Международный симпозиум, посвященный МАИ (International Symposium on Analytic Hierarchy Process, ISAHP), на котором встречаются как ученые, так и практики, работающие с МАИ. В 2007 году симпозиум проходил в Вальпараисо, Чили, где было представлено более 90 докладов ученых из 19 стран, включая США, Германию, Японию, Чили, Малайзию, и Непал .

Устройство для удаленного ввода и обработки оценок

Методика применения МАИ

Метод анализа иерархий содержит процедуру синтеза приоритетов, вычисляемых на основе субъективных суждений экспертов. Число суждений может измеряться дюжинами или даже сотнями. Математические вычисления для задач небольшой размерности можно выполнить вручную или с помощью калькулятора, однако гораздо удобнее использовать программное обеспечение (ПО) для ввода и обработки суждений. Самый простой способ компьютерной поддержки - электронные таблицы, самое развитое ПО предусматривает применение специальных устройств для ввода суждений участниками процесса коллективного выбора. Порядок применения Метода Анализа Иерархий:

Рассмотрим эти шаги подробнее.

Моделирование проблемы в виде иерархии

Первый шаг МАИ - построение иерархической структуры, объединяющей цель выбора, критерии, альтернативы и другие факторы, влияющие на выбор решения. Построение такой структуры помогает проанализировать все аспекты проблемы и глубже вникнуть в суть задачи.

Определение иерархической структуры

Иерархическая структура - это графическое представление проблемы в виде перевернутого дерева, где каждый элемент, за исключением самого верхнего, зависит от одного или более выше расположенных элементов. Часто в различных организациях распределение полномочий, руководство и эффективные коммуникации между сотрудниками организованы в иерархической форме.

В качестве примера можно привести иерархическую структуру, которая используется при обучении в медицинских вузах . В рамках изучения анатомии отдельно рассматривается костно-мышечная система (которая включает такие элементы, как руки и их составляющие: мышцы и кости), сердечнососудистая система (и ее множественные уровни), нервная система (и ее компоненты и подсистемы) и т. д. Степень детализации доходит до клеточного и молекулярного уровня. В конце изучения приходит понимание системы организма в целом, а также осознание того, какую роль играет в нем занимает каждая часть. С помощью подобного иерархического структурирования студенты приобретают всесторонние знания об анатомии.

Аналогичным образом, когда мы решаем сложную проблему, мы можем использовать иерархию как инструмент для обработки и восприятия больших объемов информации. По мере проектирования этой структуры у нас формируется все более полное понимание проблемы .

Простейшая иерархия МАИ. Чтобы избежать беспорядка в диаграммах МАИ, связи, соединяющие Альтернативы и их покрывающие Критерии, часто опускаются, или их количество искусственно уменьшается. Несмотря на такие упрощения в диаграмме, в самой иерархии каждая Альтернатива связана с каждым из покрывающих ее Критериев.

Объяснение иерархических структур, используемых в МАИ

Иерархические структуры, используемые в МАИ, представляет собой инструмент для качественного моделирования сложных проблем. Вершиной иерархии является главная цель; элементы нижнего уровня представляют множество вариантов достижения цели (альтернатив); элементы промежуточных уровней соответствуют критериям или факторам, которые связывают цель с альтернативами. Существуют специальные термины для описания иерархической структуры МАИ. Каждый уровень состоит из узлов. Элементы, исходящие из узла, принято называть его детьми (дочерними элементами). Элементы, из которых исходит узел, называются родительскими. Группы элементов, имеющие один и тот же родительский элемент, называются группами сравнения. Родительские элементы Альтернатив, как правило, исходящие из различных групп сравнения, называются покрывающими Критериями. Используя эти термины для описания представленной ниже диаграммы, можно сказать, что четыре Критерия - это дети Цели; в свою очередь, Цель - это родительский элемент для любого из Критериев. Каждая Альтернатива - это дочерний элемент каждого из включающих ее Критериев. Всего на диаграмме присутствует две группы сравнения: группа, состоящая из четырех Критериев и группа, включающая три Альтернативы. Вид любой иерархии МАИ будет зависеть не только от объективного характера рассматриваемой проблемы, но и от знаний, суждений, системы ценностей, мнений, желаний и т. п. участников процесса. Опубликованные описания применений МАИ часто включают в себя различные схемы и объяснения представленных иерархий . Последовательное выполнение всех шагов МАИ предусматривает возможность изменения структуры иерархии, с целью включения в неё вновь появившихся, или ранее не считавшихся важными, Критериев и Альтернатив .

Расстановка приоритетов

После построения иерархии участники процесса используют МАИ для определения приоритетов всех узлов структуры. Информация для расстановки приоритетов собирается со всех участников и математически обрабатывается. В данном разделе приведена информация, на простом примере поясняющая процесс вычисления приоритетов.

Определение приоритетов и пояснения

Приоритеты - это числа, которые связаны с узлами иерархии. Они представляют собой относительные веса элементов в каждой группе. Подобно вероятностям, приоритеты - безразмерные величины, которые могут принимать значения от нуля до единицы. Чем больше величина приоритета, тем более значимым является соответствующий ему элемент. Сумма приоритетов элементов, подчиненных одному элементу выше лежащего уровня иерархии, равна единице. Приоритет цели по определению равен 1.0. Рассмотрим простой пример, поясняющий методику вычисления приоритетов.

Простейшая иерархическая структура МАИ с приоритетами, определенными по умолчанию.

Более сложная иерархическая структура, содержащая глобальные и локальные значения приоритетов по умолчанию.