Как найти площадь ромба если известна сторона. Площадь ромба: формулы и факты

Что такое Ромб? Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.

РОМБ, фигура на плоскости, четырехугольник с равными сторонами. Ромб - частный случай ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, у которого или две смежные стороны равны, или диагонали пересекаются под прямым углом, или диагональ делит угол пополам. Ромб с прямыми углами называется квадратом.

Классической формулой площади ромба считается расчет значения через высоту. Площадь ромба равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

1. Площадь ромба равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

\[ S = a \cdot h \]

2. Если известна сторона ромба (у ромба все стороны равны) и угол между сторонами, то площадь можно найти по следующей формуле:

\[ S = a^{2} \cdot sin(\alpha) \]

3. Площадь ромба также равна полупроизведению диагоналей, то есть:

\[ S = \dfrac{d_{1} \cdot d_{2} }{2} \]

4. Если известен радиус r окружности, вписанной в ромб, и сторона ромба a , то его площадь вычисляется по формуле:

\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]

Свойства ромба

На рисунке выше \(ABCD \) - ромб, \(AC = DB = CD = AD \) . Так как ромб - это параллелограмм, то он обладает всеми свойствами параллелограмма, но так же есть свойства присущие только ромбу.

В любой ромб можно вписать окружность. Центр окружности, вписанной в ромб, является точкой пересечения его диагоналей. Радиус окружности равен половине высоты ромба:

\[ r = \frac{ AH }{2} \]

Свойства ромба

Диагонали ромба перпендикулярны;

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба

Параллелограмм, диагонали которого пересекаются под прямым углом, есть ромб;

Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, есть ромб.

Ромб (с древнегреческого ῥόμβος и с латинского rombus «бубен») является параллелограммом, для которого характерно наличие одинаковых по длине сторон. В случае, когда углы составляют 90 градусов (или прямой угол), такую геометрическую фигуру называют квадратом. Ромб - геометрическая фигура, разновидность четырехугольников. Может быть и квадратом, и параллелограммом.

Происхождение данного термина

Поговорим немного об истории данной фигуры, что поможет немного раскрыть для себя загадочные тайны древнего мира. Привычное для нас слово, часто встречающееся в школьной литературе, «ромб», берет свое начало от древнегреческого слова «бубен». В Древней Греции эти музыкальные инструменты производились в форме ромба или квадрата (в отличие от современных приспособлений). Наверняка вы заметили, что карточная масть - бубна - обладает ромбической формой. Формирование этой масти восходит к тем временам, когда круглые бубны не использовались в обиходе. Следовательно, ромб - древнейшая историческая фигура, которая была изобретена человечеством задолго до появления колеса.

Впервые такое слово, как «ромб» было употреблено столь известными личностями, как Герон и Папа Александрийский.

Свойства ромба

1. Так как стороны ромба противолежат друг другу и являются попарно параллельными, то ромб, несомненно, параллелограмм (АВ || CD, AD || ВС).
2. Ромбические диагонали имеют пересечение под прямым углом (AC ⊥ BD), а, значит, перпендикулярны. Следовательно, пересечение делит диагонали пополам.
3. Биссектрисами ромбических углов являются диагонали ромба(∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).
4. Из тождества параллелограммов следует, что сумма всех квадратов диагоналей ромба составляет число квадрата стороны, которое умножили на 4.

Признаки ромба

Ромб в тех случаях является параллелограммом, когда отвечает следующим условиям:

1. Все стороны параллелограмма равны.
2. Диагонали ромба пересекает прямой угол, то есть они перпендикулярны по отношению друг к другу (AC⊥BD). Это доказывает правило трех сторон (стороны равны и находятся под углом в 90 градусов).
3. Диагонали параллелограмма разделяют углы поровну, так как стороны являются равными.

Площадь ромба

1. Площадь ромба равна числу, которое является половиной произведения всех его диагоналей.
2. Так как ромб - это своеобразный параллелограмм, то площадь ромба (S) является числом произведения стороны параллелограмма на его высоту (h).
3. Кроме того, площадь ромба может быть вычислена по формуле, являющейся произведением возведенной в квадрат стороны ромба на синус угла. Синус угла - альфа - угол, находящийся между сторонами исходного ромба.
4. Вполне приемлемой для верного решения считается формула, которая является произведением удвоенного угла альфа и радиуса вписанной окружности (r).

Математика — школьный предмет, который изучается всеми, независимо от профиля класса. Однако она не всеми любима. Порой незаслуженно. Эта наука постоянно подбрасывает ученикам задачи, которые позволяют их мозгу развиваться. Математика отлично справляется с тем, чтобы не дать мыслительным возможностям детей угаснуть. Особенно хорошо с этим справляется один из ее разделов - геометрия.

Любая из тем, которые в ней изучаются, достойна внимания и уважения. Геометрия — это способ развить пространственное воображение. Примером может служить тема о площадях фигур, в частности ромбов. Эти задачки могут завести в тупик, если не разобраться в деталях. Потому что возможны разные подходы к поиску ответа. Кому-то проще запомнить разные варианты формул, которые написаны ниже, а кто-то способен сам их получить из ранее усвоенного материала. В любом случае безвыходных ситуаций не бывает. Если немного подумать, то решение обязательно найдется.

Ответить на этот вопрос нужно, чтобы понять принципы получения формул и ход рассуждения в задачах. Ведь чтобы разобраться в том, как найти площадь ромба, нужно отчетливо понимать, что это за фигура и каковы ее свойства.

Для удобства рассмотрения параллелограмм, который является четырехугольником с попарно параллельными сторонами, примем за "родителя". У него есть двое "детей": прямоугольник и ромб. Оба они являются параллелограммами. Если продолжать параллели, то это - "фамилия". Значит, для того чтобы найти площадь ромба, можно воспользоваться уже изученной формулой для параллелограмма.

Но, как и все дети, ромб имеет и нечто свое. Это немного отличает его от "родителя" и позволяет рассматривать как отдельную фигуру. Ведь прямоугольник не ромб. Возвращаясь к параллелям - они как брат и сестра. В них много общего, но они все же различаются. Эти отличия — их особенные свойства, которыми нужно пользоваться. Было бы странно знать о них и не применять в решении задач.

Если продолжить аналогии и вспомнить еще одну фигуру - квадрат, то она будет продолжением ромба и прямоугольника. В этой фигуре объединены все свойства и одного, и другого.

Свойства ромба

Их пять и они перечислены ниже. Причем некоторые из них повторяют свойства параллелограмма, а какие-то присущи только рассматриваемой фигуре.

• Ромб — это параллелограмм, который принял особую форму. Из этого следует, что его стороны являются попарно параллельными и равными. Причем равны они непросто попарно, а все. Как это было бы у квадрата.
• Диагонали этого четырехугольника пересекаются под углом, который равен 90º. Это удобно и во многом упрощает ход рассуждений при решении задач.
• Другое свойство диагоналей: каждая из них делится точкой пересечения на равные отрезки.
• Лежащие друг напротив друга углы у этой фигуры равны.
• И последнее свойство: диагонали ромба совпадают с биссектрисами углов.

Обозначения, которые приняты в рассмотренных формулах

В математике полагается решать задачи с использованием общих буквенных выражений, которые называются формулами. Тема про площади не является исключением.

Для того чтобы перейти к записям, которые расскажут, как найти площадь ромба, нужно договориться о буквах, которыми заменены все числовые значения элементов фигуры.

Теперь пришла пора написания формул.

Среди данных задачи - только диагонали ромба

Правило утверждает, что для нахождения неизвестной величины нужно перемножить длины диагоналей, а потом произведение разделить пополам. Результат деления — это и есть площадь ромба через диагонали.

Формула для этого случая будет выглядеть так:

Пусть эта формула будет идти под номером 1.

В задаче даны сторона ромба и его высота

Чтобы вычислить площадь, потребуется найти произведение этих двух величин. Пожалуй, это самая простая формула. Причем она известна еще из темы про площадь параллелограмма. Там такая формула уже изучалась.

Математическая запись:

Номер этой формулы — 2.

Известны сторона и острый угол

В этом случае нужно возвести в квадрат величину стороны ромба. Потом найти синус угла. И третьим действием вычислить произведение двух образовавшихся величин. Ответом будет площадь ромба.

Буквенное выражение:

Его порядковый номер — 3.

Данные величины: радиус вписанной окружности и острый угол

Для вычисления площади ромба нужно найти квадрат радиуса и умножить его на 4. Определить значение синуса угла. Потом разделить произведение на вторую величину.

Формула принимает такой вид:

Она будет пронумерована цифрой 4.

В задаче фигурируют сторона и радиус вписанной окружности

Чтобы определить, как найти площадь ромба, потребуется вычислить произведение данных величин и числа 2.

Формула для этой задачи будет выглядеть так:

Ее номер по порядку — 5.

Примеры возможных заданий

Задача 1

Одна из диагоналей ромба равна 8, а другая — 14 см. Требуется найти площадь фигуры и длину ее стороны.

Решение

Для нахождения первой величины потребуется формула 1, в которой Д 1 = 8, Д 2 = 14. Тогда площадь вычисляется так: (8 * 14) / 2 = 56 (см 2).

Диагонали делят ромб на 4 треугольника. Каждый из них обязательно будет прямоугольным. Этим нужно воспользоваться, чтобы определить значение второй неизвестной. Сторона ромба станет гипотенузой треугольника, а катетами будут половины диагоналей.

Тогда а 2 = (Д 1 /2) 2 + (Д 2 /2) 2 . После подстановки всех значений получается: а 2 = (8 / 2) 2 + (14 / 2) 2 = 16 + 49 = 65. Но это квадрат стороны. Значит, нужно извлечь квадратный корень из 65. Тогда длина стороны будет приблизительно равна 8,06 см.

Ответ: площадь 56 см 2 , а сторона 8,06 см.

Задача 2

Сторона ромба имеет значение, равное 5,5 дм, а его высота — 3,5 дм. Найти площадь фигуры.

Решение

Для того чтобы найти ответ нужна будет формула 2. В ней а = 5,5, Н = 3,5. Тогда, заменив в формуле буквы на числа, получим, что искомая величина равна 5,5 * 3,5 = 19,25 (дм 2).

Ответ: площадь ромба равна 19,25 дм 2 .

Задача 3

Острый угол у некоторого ромба равен 60º, а его меньшая диагональ — 12 см. Требуется вычислить его площадь.

Решение

Чтобы получить результат, нужна будет формула под номером 3. В ней вместо А будет 60, а значение а неизвестно.

Для нахождения стороны ромба потребуется вспомнить теорему синусов. В прямоугольном треугольнике а будет гипотенузой, меньший катет равен половине диагонали, а угол делится пополам (известно из свойства, где упоминается биссектриса).

Тогда сторона а будет равна произведению катета на синус угла.

Катет нужно вычислить как Д/2 = 12/2 = 6 (см). Синус(А/2) будет равен его значению для угла 30º, то есть 1/2.

Выполнив несложные вычисления, получим такое значение стороны ромба: а = 3 (см).

Теперь площадь — это произведение 3 2 и синуса 60º, то есть 9 * (√3)/2 = (9√3)/2 (см 2).

Ответ: искомая величина равна (9√3)/2 см 2 .

Итоги: все возможно

Здесь были рассмотрены некоторые варианты того, как найти площадь ромба. Если в задаче напрямую непонятно, какую формулу использовать, то нужно немного подумать и попробовать связать ранее изученные темы. В других темах обязательно найдется подсказка, которая поможет связать известные величины с теми, что есть в формулах. И задача решится. Главное - помнить, что все раньше изученное можно и нужно использовать.

Кроме предложенных заданий, возможны и обратные задачи, когда по площади фигуры нужно вычислить значение какого-либо элемента ромба. Тогда нужно воспользоваться тем уравнением, которое ближе всего к условию. А потом преобразовать формулу, оставив в левой части равенства неизвестную величину.

В школьном курсе в геометрии среди основных задач значительное внимание уделено примерам вычисления площади и периметра ромба. Вспомним что ромб принадлежит к отдельному классу четырехугольников и выделяется среди них равными сторонами. Ромб также является частным случаем параллелограмма если у последнего все стороны равны AB=BC=CD=AD . Ниже приведен рисунок на котором изображен ромб.

Свойства ромба

Поскольку ромб занимает некоторую часть параллелограммов то свойства в них будут похожими.

• Противоположные углы ромба как и параллелограмма равны.
• Сумма углов ромба прилегающих к одной стороне равна 180°.
• Диагонали ромба пересекаются под углом 90 градусов.
• Диагонали ромба являются одновременно биссектрисами его углов.
• Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.

Признаки ромба

Все признаки ромба вытекают из его свойств и помогают различать его среди четырехугольников, прямоугольников, параллелограммов.

• Параллелограмм у которого диагонали пересекаются под прямым углом является ромбом.
• Параллелограмм у которого диагонали является биссектрисами является ромбом.
• Параллелограмм с равными сторонами является ромбом.
• Четырехугольник у которого все стороны равны является ромбом.
• Четырехугольник у которого диагонали является биссектрисами углов и пересекаются под прямым углом является ромбом.
• Параллелограмм с одинаковыми высотами является ромбом.

Формула периметра ромба

Периметр по определению равен сумме всех сторон. Поскольку в ромба все стороны равны то его периметр вычисляем по формуле

Периметр вычисляется в единицах длины.

Радиус окружности вписанной в ромб

Одними из распространенных задач при изучении ромба является нахождение радиуса или диаметра вписанной окружности. На рисунке изображенном ниже приведены одни из распространенных формул радиуса вписанной окружности в ромб.

Первая формула показывает что радиус окружности вписанной в ромб равен произведению диагоналей разделенному на сумму всех сторон (4а ).

Другая формула показывает что радиус окружности вписанной в ромб равен половине высоты ромба

Вторая формула на рисунке является модификацией первой и применяется при исчислении радиуса окружности вписанной в ромб когда известны диагонали ромба, то есть неизвестные стороны.

Третья формула радиуса вписанной окружности фактически находит половину высоты малого треугольника, который образуется пересечением диагоналей.

Среди менее популярных формул для вычисления радиуса окружности вписанной в ромб можно еще привести такие

здесь D – диагональ ромба, alpha – угол который рассекает диагональ.

Если известна площадь (S) ромба и величина острого угла (alpha) то для вычисления радиуса вписанной окружности нужно найти квадратный корень из четверти произведения площади на синус острого угла:

Из приведенных формул Вы без проблем найдете радиус вписанной в ромб окружности, если в условиях примера будут необходимый набор данных.

Формула площади ромба

Формул для вычисления площади приведены на рисунке.

Простейшая выводится как сумма площадей двух треугольников на которые разделяет ромб его диагональ.

Вторая формула площади применяется к задачам в которых известны диагонали ромба. Тогда площадь ромба равна половине произведению диагоналей

Она достаточно проста для того чтобы запомнить, а также - для вычислений.

Третья формула площади имеет смысл когда известен угол между сторонами. Согласно ей площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла. Острый он или нет значения не имеет поскольку синус обоих углов принимает одинаковое значение.

Ромб - это частный случай параллелограмма. Он представляет собой плоскую четырехугольную фигуру, в которой все стороны равны. Данное свойство определяет то, что у ромбов параллельны противоположные стороны и равны противолежащие углы. Диагонали ромба пресекаются под прямым углом, точке их пересечения приходится на середину каждой диагонали, а углы из который они выходят делятся пополам. То есть они диагонали ромба являются биссектрисами углов. Исходя из приведенных определений и перечисленных свойств ромбов их площадь может быть определена различными способами.

S = ½ ∙ AC ∙ BD

где AC, BD - длина диагоналей ромба.

Чтобы понять почему это так, можно мысленно вписать в ромб прямоугольник таким образом, чтобы стороны последнего были перпендикулярны диагоналям ромба. Становится очевидным, что площадь ромба будет равна половине площади вписанного данным образом в ромб прямоугольника, длина и ширина которого будут соответствовать величине диагоналей ромба.

2. По аналогии с параллелепипедом площадь ромба может быть на найдена как произведение его стороны, на высоту перпендикуляра с опущенного к данной стороне с противолежащей стороны.

S = а ∙ h

где а - сторона ромба;
h - высота перпендикуляра, опущенного на данную сторону.

3. Площадь ромба также равна квадрату его стороны, умноженному на синус угла α .

S = a 2 ∙ sinα

где, a - сторона ромба;
α - угол между сторонами.

4. Также площадь ромба может быть найдена через его сторону и радиус вписанной в него окружности.

S = 2 ∙ a ∙ r

где, a - сторона ромба;
r - радиус вписанной в ромб окружности.