В этой статье сначала дано определение проекции точки на прямую (на ось) и приведен поясняющий рисунок. Далее разобран способ нахождения координат проекции точки на прямую во введенной прямоугольной системе координат на плоскости и в трехмерном пространстве, показаны решения примеров с подробными пояснениями.
Навигация по странице.
Проекция точки на прямую – определение.
Так как все геометрические фигуры состоят из точек, а проекция фигуры представляет собой множество проекций всех точек этой фигуры, то для проецирования фигуры на прямую необходимо уметь проецировать точки этой фигуры на данную прямую.
Так что же называют проекцией точки на прямую?
Определение.
Проекция точки на прямую – это либо сама точка, если она лежит на данной прямой, либо основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную прямую.
На приведенном ниже рисунке точка H 1 является проекцией точки M 1 на прямую a , а точка M 2 есть проекция самой точки М 2 на прямую a , так как М 2 лежит на прямой a .
Это определение проекции точки на прямую справедливо как для случая на плоскости, так и для случая в трехмерном пространстве.
На плоскости, чтобы построить проекцию точки М 1 на прямую a нужно провести прямую b , которая проходит через точку М 1 и перпендикулярна прямой a . Тогда точка пересечения прямых a и b является проекцией точки М 1 на прямую a .
В трехмерном пространстве проекцией точки М 1 на прямую a является точка пересечения прямой a и плоскости , проходящей через точку М 1 перпендикулярно к прямой a .
Нахождение координат проекции точки на прямую – теория и примеры.
Начнем с нахождения координат проекции точки на прямую, когда проецируемая точка и прямая заданы в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости. После этого покажем, как находятся координаты проекции точки на прямую в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве.
Координаты проекции точки на прямую на плоскости.
Пусть на плоскости зафиксирована Oxy , задана точка , прямая a и требуется определить координаты проекции точки М 1 на прямую a .
Решим эту задачу.
Проведем через точку М 1 прямую b , перпендикулярную прямой a , и обозначим точку пересечения прямых a и b как H 1 . Тогда H 1 – проекция точки М 1 на прямую a .
Из проведенного построения логически следует алгоритм, позволяющий найти координаты проекции точки на прямую a :
Разберемся с нахождением координат проекции точки на прямую при решении примера.
Пример.
На плоскости относительно прямоугольной системы координат Oxy
заданы точка и прямая a
, которой соответствует общее уравнение прямой вида 
Решение.
Уравнение прямой a нам известно из условия, так что можно переходить ко второму шагу алгоритма.
Получим уравнение прямой b
, которая проходит через точку М 1
и перпендикулярна прямой a
. Для этого нам потребуются координаты направляющего вектора прямой b
.Так как прямая b
перпендикулярна прямой a
, то нормальный вектор прямой a
является направляющим вектором прямой b
. Очевидно, нормальным вектором прямой является вектор с координатами , следовательно, направляющим вектором прямой b
является вектор . Теперь мы можем написать каноническое уравнение прямой b
, так как знаем координаты точки , через которую она проходит, и координаты ее направляющего вектора: .
Осталось найти координаты точки пересечения прямых a
и b
, которые дадут искомые координаты проекции точки М 1
на прямую a
. Для этого сначала перейдем от канонических уравнений прямой b
к ее общему уравнению: . Теперь составим систему уравнений из общих уравнений прямых a
и b
, после чего найдем ее решение (при необходимости обращайтесь к статье ):
Таким образом, проекция точки на прямую имеет координаты .
Ответ:
Пример.
На плоскости в прямоугольной системе координат Oxy заданы три точки . Найдите координаты проекции точки М 1 на прямую АВ .
Решение.
Для нахождения координат проекции точки М 1 на прямую АВ будем действовать по полученному алгоритму.
Напишем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :
.
Теперь можно от полученного канонического уравнения прямой АВ перейти к общему уравнению прямой АВ и продолжить решение по аналогии с предыдущим примером. Но давайте рассмотрим другой способ нахождения уравнения прямой b , проходящей через точку М 1 перпендикулярно прямой АВ .
Из канонического уравнения прямой АВ
получим уравнение прямой с угловым коэффициентом : 
. Угловой коэффициент прямой АВ
равен , а угловой коэффициент прямой b
, которая перпендикулярна прямой АВ
, равен (смотрите условие перпендикулярности прямых). Тогда уравнение прямой b
, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент , имеет вид .
Чтобы определить координаты проекции точки на прямую АВ
осталось решить систему уравнений 
:
Ответ:
Давайте еще отдельно остановимся на нахождении координат проекции точки на координатные прямые Ox и Oy , а также на прямые, им параллельные.
Очевидно, что проекцией точки на координатную прямую Ox , которой соответствует неполное общее уравнение прямой вида , является точка с координатами . Аналогично, проекция точки на координатную прямую Oy имеет координаты .
Любая прямая, параллельная оси абсцисс, может быть задана неполным общим уравнением вида 
, а прямая, параллельная оси ординат, - уравнением вида 
. Проекциями точки на прямые и являются точки с координатами и соответственно.
Пример.
Какие координаты имеют проекции точки на координатную прямую Oy и на прямую .
Решение.
Проекцией точки на прямую Oy является точка с координатами .
Перепишем уравнение прямой как . Теперь хорошо видно, что проекция точки на прямую имеет координаты .
Ответ:
И .
Координаты проекции точки на прямую в трехмерном пространстве.
Теперь переходим к нахождению координат проекции точки на прямую относительно прямоугольной системы координат Oxyz , введенной в трехмерном пространстве.
Пусть в пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz
, задана точка 
, прямая a
и требуется найти координаты проекции точки М 1
на прямую a
.
Решим эту задачу.
Построим плоскость , которая проходит через точку М 1
перпендикулярно к прямой a
. Проекцией точки М 1
на прямую a
является точка пересечения прямой a
и плоскости . Таким образом, получаем алгоритм, позволяющий найти координаты проекции точки на прямую a
:
Рассмотрим решение примера.
Пример.
В прямоугольной системе координат Oxyz
задана точка и прямая a
, причем прямую a
определяют канонические уравнения прямой в пространстве вида 
. Найдите координаты проекции точки М 1
на прямую a
.
Решение.
Для определения координат проекции точки М 1 на прямую a воспользуемся полученным алгоритмом.
Уравнения прямой a нам сразу известны из условия, так что переходим ко второму шагу.
Получим уравнение плоскости , которая перпендикулярна к прямой a
и проходит через точку . Для этого нам нужно знать координаты нормального вектора плоскости . Найдем их. Из канонических уравнений прямой a
видны координаты направляющего вектора этой прямой: . Направляющий вектор прямой a
является нормальным вектором плоскости, которая перпендикулярна к прямой a
. То есть, 
- нормальный вектор плоскости . Тогда уравнение плоскости , проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , имеет вид .
Осталось найти координаты точки пересечения прямой a и плоскости - они являются искомыми координатами проекции точки на прямую a . Покажем два способа их нахождения.
Первый способ.
Из канонических уравнений прямой a получим уравнения двух пересекающихся плоскостей , которые определяют прямую a:
Координаты точки пересечения прямой 
и плоскости 
мы получим, решив систему линейных уравнений вида 
. Применим (если Вам больше нравиться или какой-нибудь другой метод решения систем линейных уравнений, то применяйте его):
Таким образом, точка с координатами является проекцией точки М 1 на прямую a .
Второй способ.
Зная канонические уравнения прямой a
, легко записать ее параметрические уравнения прямой в пространстве : 
. Подставим в уравнение плоскости вида вместо x
, y
и z
их выражения через параметр:
Теперь мы можем вычислить искомые координаты точки пересечения прямой a и плоскости по параметрическим уравнениям прямой a при :
Эта статья является ответом на два вопроса: «Что такое » и «Как найти координаты проекции точки на плоскость »? Сначала дана необходимая информация о проецировании и его видах. Далее приведено определение проекции точки на плоскость и дана графическая иллюстрация. После этого получен метод нахождения координат проекции точки на плоскость. В заключении разобраны решения примеров, в которых вычисляются координаты проекции заданной точки на заданную плоскость.
Навигация по странице.
Проецирование, виды проецирования – необходимая информация.
При изучении пространственных фигур удобно пользоваться их изображениями на чертеже. Чертеж пространственной фигуры представляет собой так называемую проекцию этой фигуры на плоскость. Процесс построения изображения пространственной фигуры на плоскости происходит по определенным правилам. Так вот процесс построения изображения пространственной фигуры на плоскости вместе с набором правил, по которым осуществляется этот процесс, называется проецированием фигуры на данную плоскость. Плоскость, в которой строится изображение, называют плоскостью проекции .
В зависимости от правил, по которым осуществляется проецирование, различают центральное и параллельное проецирование . Вдаваться в подробности не станем, так как это выходит за рамки этой статьи.
В геометрии в основном используется частный случай параллельного проецирования - перпендикулярное проецирование , которое также называют ортогональным . В названии этого вида проецирования прилагательное «перпендикулярное» часто опускается. То есть, когда в геометрии говорят о проекции фигуры на плоскость, то обычно подразумевают, что эта проекция была получена с помощью перпендикулярного проецирования (если, конечно, не оговорено другое).
Следует отметить, что проекция фигуры на плоскость представляет собой совокупность проекций всех точек этой фигуры на плоскость проекции. Иными словами, чтобы получить проекцию некоторой фигуры необходимо уметь находить проекции точек этой фигуры на плоскость. В следующем пункте статьи как раз показано, как найти проекцию точки на плоскость.
Проекция точки на плоскость – определение и иллюстрация.
Еще раз подчеркнем, что мы будем говорить о перпендикулярной проекции точки на плоскость.
Выполним построения, которые помогут нам дать определение проекции точки на плоскость.
Пусть в трехмерном пространстве нам задана точка М 1 и плоскость . Проведем через точку М 1 прямую a , перпендикулярную к плоскости . Если точка М 1 не лежит в плоскости , то обозначим точку пересечения прямой a и плоскости как H 1 . Таким образом, точка H 1 по построению является основанием перпендикуляра, опущенного из точки M 1 на плоскость .
Определение.
Проекция точки М 1 на плоскость - это сама точка М 1 , если , или точка H 1 , если .
Данному определению проекции точки на плоскость эквивалентно следующее определение.
Определение.
Проекция точки на плоскость – это либо сама точка, если она лежит в заданной плоскости, либо основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную плоскость.
На приведенном ниже чертеже точка H 1 есть проекция точки М 1 на плоскость ; точка М 2 лежит в плоскости , поэтому М 2 – проекция самой точки М 2 на плоскость .
Нахождение координат проекции точки на плоскость – решения примеров.
Пусть в трехмерном пространстве введена Oxyz
, задана точка 
и плоскость . Поставим перед собой задачу: определить координаты проекции точки М 1
на плоскость .
Решение задачи логически следует из определения проекции точки на плоскость.
Обозначим проекцию точки М 1 на плоскость как H 1 . По определению проекции точки на плоскость, H 1 – это точка пересечения заданной плоскости и прямой a , проходящей через точку М 1 перпендикулярно к плоскости . Таким образом, искомые координаты проекции точки М 1 на плоскость - это координаты точки пересечения прямой a и плоскости .
Следовательно, чтобы найти координаты проекции точки на плоскость нужно:
Рассмотрим решения примеров.
Пример.
Найдите координаты проекции точки 
на плоскость 
.
Решение.
В условии задачи нам дано общее уравнение плоскости вида , так что его составлять не нужно.
Напишем канонические уравнения прямой a
, которая проходит через точку М 1
перпендикулярно к заданной плоскости. Для этого получим координаты направляющего вектора прямой a
. Так как прямая a
перпендикулярна к заданной плоскости, то направляющим вектором прямой a
является нормальный вектор плоскости . То есть, 
- направляющий вектор прямой a
. Теперь мы можем написать канонические уравнения прямой в пространстве , которая проходит через точку и имеет направляющий вектор :
.
Чтобы получить требуемые координаты проекции точки на плоскость, осталось определить координаты точки пересечения прямой и плоскости . Для этого от канонических уравнений прямой переходим к уравнениям двух пересекающихся плоскостей , составляем систему уравнений 
и находим ее решение. Используем :
Таким образом, проекция точки на плоскость имеет координаты .
Ответ:
Пример.
В прямоугольной системе координат Oxyz
в трехмерном пространстве заданы точки и 
. Определите координаты проекции точки М 1
на плоскость АВС
.
Решение.
Напишем сначала уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки :
Но давайте рассмотрим альтернативный подход.
Получим параметрические уравнения прямой a
, которая проходит через точку и перпендикулярна к плоскости АВС
. Нормальный вектор плоскости имеет координаты , следовательно, вектор 
является направляющим вектором прямой a
. Теперь мы можем написать параметрические уравнения прямой в пространстве , так как знаем координаты точки прямой () и координаты ее направляющего вектора ():
Осталось определить координаты точки пересечения прямой и плоскости . Для этого в уравнение плоскости подставим :
.
Теперь по параметрическим уравнениям вычислим значения переменных x
, y
и z
при :
.
Таким образом, проекция точки М 1 на плоскость АВС имеет координаты .
Ответ:
В заключении давайте обсудим нахождение координат проекции некоторой точки на координатные плоскости и плоскости, параллельные координатным плоскостям.
Проекциями точки на координатные плоскости Oxy
, Oxz
и Oyz
являются точки с координатами 
и соответственно. А проекциями точки на плоскости и 
, которые параллельны координатным плоскостям Oxy
, Oxz
и Oyz
соответственно, являются точки с координатами 
и 
.
Покажем, как были получены эти результаты.
Для примера найдем проекцию точки на плоскость (остальные случаи аналогичны этому).
Эта плоскость параллельна координатной плоскости Oyz и - ее нормальный вектор. Вектор является направляющим вектором прямой, перпендикулярной к плоскости Oyz . Тогда параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М 1 перпендикулярно к заданной плоскости, имеют вид .
Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости . Для этого сначала подставляем в уравнение равенства : , и проекция точки
Изучение свойств фигур в пространстве и на плоскости невозможно без знания расстояний между точкой и такими геометрическими объектами, как прямая и плоскость. В данной статье покажем, как находить эти расстояния, рассматривая проекцию точки на плоскость и на прямую.
Уравнение прямой для двумерного и трехмерного пространств
Расчет расстояний точки до прямой и плоскости осуществляется с использованием ее проекции на эти объекты. Чтобы уметь находить эти проекции, следует знать, в каком виде задаются уравнения для прямых и плоскостей. Начнем с первых.
Прямая представляет собой совокупность точек, каждую из которых можно получить из предыдущей с помощью переноса на параллельные друг другу вектора. Например, имеется точка M и N. Соединяющий их вектор MN¯ переводит M в N. Имеется также третья точка P. Если вектор MP¯ или NP¯ параллелен MN¯, тогда все три точки на одной прямой лежат и образуют ее.
В зависимости от размерности пространства уравнение, задающее прямую, может изменять свою форму. Так, всем известная линейная зависимость координаты y от x в пространстве описывает плоскость, которая параллельна третьей оси z. В связи с этим в данной статье будем рассматривать только векторное уравнение для прямой. Оно имеет одинаковый вид для плоскости и трехмерного пространства.
В пространстве прямую можно задать следующим выражением:
(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(a; b; c)
Здесь значения координат с нулевыми индексами соответствуют принадлежащей прямой некоторой точки, u¯(a; b; c) - координаты направляющего вектора, который лежит на данной прямой, α - произвольное действительное число, изменяя которое можно получить все точки прямой. Это уравнение называется векторным.
Часто приведенное уравнение записывают в раскрытом виде:
Аналогичным образом можно записать уравнение для прямой, находящейся в плоскости, то есть в двумерном пространстве:
(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b);
Уравнение плоскости
Чтобы уметь находить расстояние от точки до плоскостей проекций, необходимо знать, как задается плоскость. Так же, как и прямую, ее можно представить несколькими способами. Здесь рассмотрим один единственный: общее уравнение.
Предположим, что точка M(x 0 ; y 0 ; z 0) плоскости принадлежит, а вектор n¯(A; B; C) ей перпендикулярен, тогда для всех точек (x; y; z) плоскости справедливым будет равенство:
A*x + B*y + C*z + D = 0, где D = -1*(A*x 0 + B*y 0 + C*z 0)
Следует запомнить, что в этом общем уравнении плоскости коэффициенты A, B и C являются координатами нормального к плоскости вектора.
Расчет расстояний по координатам
Перед тем как переходить к рассмотрению проекций на плоскость точки и на прямую, следует напомнить, как следует рассчитывать расстояние между двумя известными точками.
Пусть имеются две пространственные точки:
A 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и A 2 (x 2 ; y 2 ; z 2)
Тогда дистанция между ними вычисляется по формуле:
A 1 A 2 = √((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2)
С помощью этого выражения также определяют длину вектора A 1 A 2 ¯.
Для случая на плоскости, когда две точки заданы всего парой координат, можно записать аналогичное равенство без присутствия в нем члена с z:
A 1 A 2 = √((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2)
Теперь рассмотрим различные случаи проекции на плоскости точки на прямую и на плоскость в пространстве.
Точка, прямая и расстояние между ними
Предположим, что имеется некоторая точка и прямая:
P 2 (x 1 ; y 1);
(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b)
Расстояние между этими геометрическими объектами будет соответствовать длине вектора, начало которого лежит в точке P 2 , а конец находится в такой точке P на указанной прямой, для которой вектор P 2 P ¯ этой прямой перпендикулярен. Точка P называется проекцией точки P 2 на рассматриваемую прямую.
Ниже приведен рисунок, на котором изображена точка P 2 , ее расстояние d до прямой, а также вектор направляющий v 1 ¯. Также на прямой выбрана произвольная точка P 1 и от нее до P 2 проведен вектор. Точка P здесь совпадает с местом, где перпендикуляр пересекает прямую.
Видно, что оранжевые и красные стрелки образуют параллелограмм, сторонами которого являются вектора P 1 P 2 ¯ и v 1 ¯, а высотой - d. Из геометрии известно, что для нахождения высоты параллелограмма следует разделить его площадь на длину основания, на которое опущен перпендикуляр. Поскольку площадь параллелограмма вычисляется как векторное произведение его сторон, то получаем формулу для расчета d:
d = ||/|v 1 ¯|
Все вектора и координаты точек в этом выражении известны, поэтому можно им пользоваться без выполнения каких-либо преобразований.
Решить эту задачу можно было бы иначе. Для этого следует записать два уравнения:
- скалярное произведение P 2 P ¯ на v 1 ¯ должно равняться нулю, поскольку эти вектора взаимно перпендикулярны;
- координаты точки P должны удовлетворять уравнению прямой.
Этих уравнений достаточно, чтобы найти координаты P, а затем и длину d по формуле, приведенной в предыдущем пункте.
Задача на нахождение дистанции между прямой и точкой
Покажем, как использовать данные теоретические сведения для решения конкретной задачи. Допустим, известны следующая точка и прямая:
(x; y) = (3; 1) - α*(0; 2)
Необходимо найти точки проекции на прямую на плоскости, а также расстояние от M до прямой.
Обозначим проекцию, которую следует найти, точкой M 1 (x 1 ; y 1). Решим эту задачу двумя способами, описанными в предыдущем пункте.
Способ 1. Направляющий вектор v 1 ¯ координаты имеет (0; 2). Чтобы построить параллелограмм, выберем принадлежащую прямой какую-нибудь точку. Например, точку с координатами (3; 1). Тогда вектор второй стороны параллелограмма будет иметь координаты:
(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)
Теперь следует вычислить произведение векторов, задающих стороны параллелограмма:
Подставляем это значение в формулу, получаем расстояние d от M до прямой:
Способ 2. Теперь найдем другим способом не только расстояние, но и координаты проекции M на прямую, как это требует условие задачи. Как было сказано выше, для решения задачи необходимо составить систему уравнений. Она примет вид:
(x 1 -5)*0+(y 1 +3)*2 = 0;
(x 1 ; y 1) = (3; 1)-α*(0; 2)
Решаем эту систему:
Проекция исходной точки координаты имеет M 1 (3; -3). Тогда искомое расстояние равно:
d = |MM 1 ¯| = √(4+0) = 2
Как видим, оба способа решения дали одинаковый результат, что говорит о правильности выполненных математических операций.
Проекция точки на плоскость
Теперь рассмотрим, что представляет собой проекция точки, заданной в пространстве, на некоторую плоскость. Несложно догадаться, что этой проекцией также является точка, которая вместе с исходной образует перпендикулярный плоскости вектор.
Предположим, что проекция на плоскость точки М координаты имеет следующие:
Сама плоскость описывается уравнением:
A*x + B*y + C*z + D = 0
Исходя из этих данных, мы можем составить уравнение прямой, пересекающей плоскость под прямым углом и проходящей через M и M 1:
(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(A; B; C)
Здесь переменные с нулевыми индексами - координаты точки M. Рассчитать положение на плоскости точки M 1 можно исходя из того, что ее координаты должны удовлетворять обоим записанным уравнениям. Если этих уравнений при решении задачи будет недостаточно, то можно использовать условие параллельности MM 1 ¯ и вектора направляющего для заданной плоскости.
Очевидно, что проекция точки, принадлежащей плоскости, совпадает сама с собой, а соответствующее расстояние равно нулю.
Задача с точкой и плоскостью
Пусть дана точка M(1; -1; 3) и плоскость, которая описывается следующим общим уравнением:
Следует вычислить координаты проекции на плоскость точки и рассчитать расстояние между этими геометрическими объектами.
Для начала построим уравнение прямой, проходящей через М и перпендикулярной указанной плоскости. Оно имеет вид:
(x; y; z) = (1; -1; 3) + α*(-1; 3; -2)
Обозначим точку, где эта прямая пересекает плоскость, M 1 . Равенства для плоскости и прямой должны выполняться, если в них подставить координаты M 1 . Записывая в явном виде уравнение прямой, получаем следующие четыре равенства:
X 1 + 3*y 1 -2*z 1 + 4 = 0;
y 1 = -1 + 3*α;
Из последнего равенства получим параметр α, затем подставим его в предпоследнее и во второе выражение, получаем:
y 1 = -1 + 3*(3-z 1)/2 = -3/2*z 1 + 3,5;
x 1 = 1 - (3-z 1)/2 = 1/2*z 1 - 1/2
Выражение для y 1 и x 1 подставим в уравнение для плоскости, имеем:
1*(1/2*z 1 - 1/2) + 3*(-3/2*z 1 + 3,5) -2*z 1 + 4 = 0
Откуда получаем:
y 1 = -3/2*15/7 + 3,5 = 2/7;
x 1 = 1/2*15/7 - 1/2 = 4/7
Мы определили, что проекция точки M на заданную плоскость соответствует координатам (4/7; 2/7; 15/7).
Теперь рассчитаем расстояние |MM 1 ¯|. Координаты соответствующего вектора равны:
MM 1 ¯(-3/7; 9/7; -6/7)
Искомое расстояние равно:
d = |MM 1 ¯| = √126/7 ≈ 1,6
Три точки проекции
Во время изготовления чертежей часто приходится получать проекции сечений на взаимно перпендикулярные три плоскости. Поэтому полезно рассмотреть, чему будут равны проекции некоторой точки M с координатами (x 0 ; y 0 ; z 0) на три координатные плоскости.
Не сложно показать, что плоскость xy описывается уравнением z = 0, плоскость xz соответствует выражению y = 0, а оставшаяся плоскость yz обозначается равенством x = 0. Нетрудно догадаться, что проекции точки на 3 плоскости будут равны:
для x = 0: (0; y 0 ; z 0);
для y = 0: (x 0 ; 0 ; z 0);
для z = 0: (x 0 ; y 0 ; 0)
Где важно знать проекции точки и ее расстояния до плоскостей?
Определение положения проекции точек на заданную плоскость важно при нахождении таких величин, как площадь поверхности и объем для наклонных призм и пирамид. Например, расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания является высотой. Последняя входит в формулу для объема этой фигуры.
Рассмотренные формулы и методики определения проекций и расстояний от точки до прямой и плоскости являются достаточно простыми. Важно лишь запомнить соответствующие формы уравнений плоскости и прямой, а также иметь хорошее пространственное воображение, чтобы успешно их применять.
При решении геометрических задач в пространстве часто возникает проблема определения расстояния между плоскостью и точкой. В некоторых случаях это необходимо для комплексного решения. Эту величину можно вычислить, если найти проекцию на плоскость точки. Рассмотрим этот вопрос подробнее в статье.
Уравнение для описания плоскости
Перед тем как перейти к рассмотрению вопроса касательно того, как найти проекцию точки на плоскость, следует познакомиться с видами уравнений, которые задают последнюю в трехмерном пространстве. Подробнее - ниже.
Уравнением общего вида, определяющим все точки, которые принадлежат данной плоскости, является следующее:
A*x + B*y + C*z + D = 0.
Первые три коэффициента - это координаты вектора, который называется направляющим для плоскости. Он совпадает с нормалью для нее, то есть является перпендикулярным. Этот вектор обозначают n¯(A; B; C). Свободный коэффициент D однозначно определяется из знания координат любой точки, принадлежащей плоскости.
Понятие о проекции точки и ее вычисление
Предположим, что задана некоторая точка P(x 1 ; y 1 ; z 1) и плоскость. Она определена уравнением в общем виде. Если провести перпендикулярную прямую из P к заданной плоскости, то очевидно, что она пересечет последнюю в одной определенной точке Q (x 2 ; y 2 ; z 2). Q называется проекцией P на рассматриваемую плоскость. Длина отрезка PQ называется расстоянием от точки P до плоскости. Таким образом, сам PQ является перпендикулярным плоскости.
Как можно найти координаты проекции точки на плоскость? Сделать это не сложно. Для начала следует составить уравнение прямой, которая будет перпендикулярна плоскости. Ей будет принадлежать точка P. Поскольку вектор нормали n¯(A; B; C) этой прямой должен быть параллелен, то уравнение для нее в соответствующей форме запишется так:
(x; y; z) = (x 1 ; y 1 ; z 1) + λ*(A; B; C).
Где λ - действительное число, которое принято называть параметром уравнения. Изменяя его, можно получить любую точку прямой.
После того как записано векторное уравнение для перпендикулярной плоскости линии, необходимо найти общую точку пересечения для рассматриваемых геометрических объектов. Ее координаты и будут проекцией P. Поскольку они должны удовлетворять обоим равенствам (для прямой и для плоскости), то задача сводится к решению соответствующей системы линейных уравнений.
Понятие проекции часто используется при изучении чертежей. На них изображаются боковые и горизонтальные проекции детали на плоскости zy, zx, и xy.
Вычисление расстояния от плоскости до точки
Как выше было отмечено, знание координат проекции на плоскость точки позволяет определить дистанцию между ними. Используя обозначения, введенные в предыдущем пункте, получаем, что искомое расстояние равно длине отрезка PQ. Для его вычисления достаточно найти координаты вектора PQ¯, а затем рассчитать его модуль по известной формуле. Конечное выражение для d расстояния между P точкой и плоскостью принимает вид:
d = |PQ¯| = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).
Полученное значение d представлено в единицах, в которых задается текущая декартова координатная система xyz.
Пример задачи
Допустим, имеется точка N(0; -2; 3) и плоскость, которая описывается следующим уравнением:
Следует найти точки проекцию на плоскость и вычислить между ними расстояние.
В первую очередь составим уравнение прямой, которая пересекает плоскость под углом 90 o . Имеем:
(x; y; z) = (0; -2; 3) + λ*(2; -1; 1).
Записывая это равенство в явном виде, приходим к следующей системе уравнений:
Подставляя значения координат из первых трех равенств в четвертое, получим значение λ, определяющее координаты общей точки прямой и плоскости:
2*(2*λ) - (-2 - λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>
6*λ + 9 = 0 =>
λ = 9/6 = 3/2 = 1,5.
Подставим найденный параметр в и найдем координаты проекции исходной точки на плоскость:
(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1,5*(2; -1; 1) = (3; -3,5; 4,5).
Для вычисления дистанции между заданными в условии задачи геометрическими объектами применим формулу для d:
d = √((3 - 0) 2 + (-3,5 + 2) 2 + (4,5 - 3) 2) = 3,674.
В данной задаче мы показали, как находить проекцию точки на произвольную плоскость и как вычислять между ними расстояние.
