КУРСОВАЯ РАБОТА

ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ

На тему: Средние величины

Выполнил: Номер группы: СТП - 72

Юнусова Гульназия Чамилевна

Проверил: Серьга Людмила Константиновна

Введение

1. Сущность средних величин, общие принципы применения

2. Виды средних величин и сфера их применения

2.1 Степенные средние величины

2.1.1 Средняя арифметическая величина

2.1.2 Средняя гармоническая величина

2.1.3 Средняя геометрическая величина

2.1.4 Средняя квадратическая величина

2.2. Структурные средние величины

2.2.1 Медиана

3. Основные методологические требования правильного расчета средних величин

Заключение

Список использованной литературы

Введение

История практического применения средних насчитывает десятки столетий. Основная цель расчета средней состояла в изучении пропорций между величинами. Значимость расчетов средних величин возросла в связи с развитием теории вероятностей и математической статистики. Решение многих теоретических и практических задач было бы невозможно без расчетов средней и оценки колеблемости индивидуальных значений признака.

Ученые разных направлений стремились дать определение средней. Например, выдающийся французский математик О.Л.Коши (1789 - 1857) считал, что средней нескольких величин является новая величина, заключающаяся между наименьшей и наибольшей из рассматриваемых величин.

Однако создателем теории средних следует считать бельгийского статистика А. Кетле (1796 - 1874). Им предпринята попытка определить природу средних величин и закономерностей, в них проявляющихся. Согласно Кетле, постоянные причины действуют одинаково (постоянно) на каждое изучаемое явление. Именно они делают эти явления похожими друг на друга, создают общее для всех их закономерности.

Следствием учения А. Кетле об общих и индивидуальных причинах явилось выделения средних величин в качестве основного приема статистического анализа. Он подчеркивал, что статистические средние представляют собой не просто меру математического измерения, а категорию объективной действительности. Типическую, реально существующую среднюю он отождествлял с истинной величиной, отклонения от которой могут быть только случайными.

Ярким выражением изложенного взгляда на среднюю является его теория «среднего человека», т.е. человека среднего роста, веса, силы, среднего объема грудной клетки, емкости легких, средней остроты зрения и обычным цветом лица. Средние характеризуют «истинный» тип человека, все отклонения от этого типа указывают на уродливость или болезнь.

Взгляды А.Кетле получили дальнейшее развитие в работах немецкого статистика В.Лексиса (1837 - 1914).

Другая разновидность идеалистической теории средних основана на философии махизма. Ее основатель английский статистик А. Боули (1869 - 1957). В средних он видел способ наиболее простого описания количественных характеристик явления. Определяя значение средних или, как он выражается, «их функцию», Боули на первый план выдвигает махистский принцип мышлений. Так, он писал, что функция средних ясна: она заключается в том, чтобы выражать сложную группу при помощи немногих простых чисел. Ум не в состоянии сразу охватить величины миллионов статистических данных, они должны быть сгруппированы, упрощены, приведены к средним.

Последователем А.Кетле был и итальянский статистик К.Джини (1884-1965), автор крупной монографии «Средние величины». К.Джини подверг критике определение средней, данное советским статистиком А.Я. Боярским, и сформулировал свое: «Средняя нескольких величин является результатом действий, выполняемых по определенному правилу над данными величинами, и представляет собой либо одну из данных величин, которая не больше и не меньше всех остальных (средняя действительная или эффективная), либо какую-либо новую величину, промежуточную между наименьшей и наибольшей из данных величин (счетная средняя)».

В данной курсовой работе мы подробно рассмотрим основные проблемы теории средних величин. В первой главе выявим сущность средних величин и общие принципы применения. Во второй главе рассмотрим виды средних величин и сферу их применения на конкретных примерах. В третьей главе будут рассмотрены основные методологические требования расчета средних величин.

1. Сущность средних величин, общие принципы применения

Средние величины являются одними изнаиболее распространенных обобщающих статистических показателей. Они имеютсвоей целью одним числом охарактеризовать статистическую совокупность состоящуюиз меньшинства единиц. Средние величины тесно связаны с законом больших чисел.Сущность этой зависимости заключается в том, что при большом числе наблюденийслучайные отклонения от общей статистики взаимопогашаются и в среднем более отчетливо проявляется статистическая закономерность.

Средняя величина - это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления в конкретных условиях места и времени. Он выражает уровень признака, типический для каждой единицы совокупности.

Средняя является объективной характеристикой только для однородных явлений. Средние для неоднородных совокупностей называются огульными и могут применяться только в сочетании с частными средними однородных совокупностей.

Средняя применяется в статистических исследованиях для оценки сложившегося уровня явления, для сравнения между собой нескольких совокупностей по одному и тому же признаку, для исследования динамики развития изучаемого явления во времени, для изучения взаимосвязей явлений.

Средние широко применяются в различных плановых, прогнозных, финансовыхрасчетах.

Главное значение средних величин состоит в их обобщающей функции,т.е. замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений. Всем известны особенности развития современных людей, проявляющиеся в том числе и в более высоком росте сыновей по сравнению с отцами, дочерей в сравнении с матерями в том же возрасте. Но как измерить это явление?

В разных семьях наблюдаются самые различные соотношения роста старшего и младшего поколения. Далеко не всякий сын выше отца и не каждая дочь выше матери. Но если измерить средний рост многих тысяч лиц, то по среднему росту сыновей и отцов, дочерей и матерей можно точно установить и сам факт акселерации, и типичную среднюю величину увеличения роста за одно поколение.

На производство одного и того же количества товара определенного вида и качества разные производители (заводы, фирмы) затрачивают неодинаковое количество труда и материальных ресурсов. Но рынок осредняет эти затраты, и стоимость товара определяется средним расходом ресурсов на производство.

Погода в определенном пункте земного шара в один и тот же день в разные годы может быть очень различной. Например, в Санкт-Петербурге 31 марта температура воздуха за сто с лишним лет наблюдений колебалась от -20,1° в 1883 г. до +12,24° в 1920 г. Примерно такие же колебания и в другие дни года. По таким индивидуальным данным о погоде в какой-то произвольно взятый год нельзя составить представление о климате Санкт-Петербурга. Характеристики климата - это средние за длительный период характеристики погоды - температуры воздуха, его влажность, скорость ветра, сумма осадков, число часов солнечного сияния за неделю, месяц и весь год и т.д.

Если средняя величина обобщает качественно однородные значения признака, то она является типической характеристикой признака в данной совокупности. Так, можно говорить об измерении типичного роста русских девушек рождения 1973 г. по достижении ими 20-летнего возраста. Типичной характеристикой будет средняя величина надоя молока от коров черно-пестрой породы на первом году лактации при норме кормления 12,5 кормовой единицы в сутки.

Однако неправильно сводить роль средних величин только характеристике типичных значений признаков в однородных по данному признаку совокупностях. На практике значительно чаще современная статистика использует средние величины, обобщающие явно неоднородные явления, как, например, урожайность всех зерновых культур по территории всей России. Или рассмотрим такую среднюю, как среднее потребление мяса на душу населения: ведь среди этого населения и дети до одного года, вовсе не потребляющие мяса, и вегетарианцы, и северяне, и южане, шахтеры, спортсмены и пенсионеры. Еще более ясна нетипичность такого среднего показателя, как произведенный национальный доход в среднем на душу населения.

Средняя величина национального дохода на душу, средняя урожайность зерновых по всей стране, среднее потребление разных продуктов питания - это характеристики государства, как единой народнохозяйственной системы, это так называемые системные средние.

Системные средние могут характеризовать как пространственные или объектные системы, существующие одномоментно (государство, отрасль, регион, планета Земля и т.п.), так и динамические системы, протяженные во времени (год, десятилетие, сезон и т.п.).

Примером системной средней, характеризующей период времени, может служить средняя температура воздуха в Санкт-Петербурге за 1992 г., равная +6,3°. Эта средняя обобщает крайне разнородные температуры зимних морозных дней и ночей, летних жарких дней, весны и осени. 1992 г. был теплым годом, его средняя температура не является типичной для Санкт-Петербурга. В качестве типической среднегодовой температуры воздуха в городе следует использовать многолетнюю среднюю, скажем, за 30 лет с 1963 по 1992 г., которая равна +5,05°. Эта средняя является типической средней, так как обобщает однородные величины; средние годовые температуры одного и того же географического пункта, варьирующие за 30 лет от +2,90° в 1976 г. до +7,44° в 1989 г.

Лекция 5. Средние величины

Понятие средней величины в статистике

Средняя арифметическая и ее свойства

Другие виды степенных средних величин

Мода и медиана

Квартили и децили

Большое распространение в статистике имеют средние величины. Средние величины характеризуют качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Средняя - это один из распространенных приемов обобщений. Правильное понимание сущности средней определяет ее особую значимость в условиях рыночной экономики, когда средняя через единичное и случайное позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического развития.

Средняя величина - это обобщающие показатели, в которых находят выражение действия общих условий, закономерностей изучаемого явления.

Средняя величина (в статистике) – обобщающий показатель, характеризующий типичный размер или уровень общественных явлений в расчете на единицу совокупности при прочих равных условиях.

С помощью метода средних решаются следующие основные задачи :

1. Характеристика уровня развития явлений.

2. Сравнение двух или нескольких уровней.

3. Изучение взаимосвязей социально - экономических явлений.

4. Анализ размещения социально-экономических явлений в пространстве.

Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного и выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений). Например, если рассчитывать среднюю заработную плату в кооперативах и на госпредприятиях, а результат распространить на всю совокупность, то средняя фиктивна, так как рассчитана по неоднородной совокупности, и такая средняя теряет всякий смысл.

При помощи средней происходит как бы сглаживание различий в величине признака, которые возникают по тем или иным причинам у отдельных единиц наблюдения. Например, средняя выработка продавца зависит от многих причин: квалификации, стажа, возраста, формы обслуживания, здоровья и т.д.

Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.

Средняя величина является отражением значений изучаемого признака, следовательно, измеряется в той же размерности, что и этот признак.

Каждая средняя величина характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку. Чтобы получить полное и всестороннее представление об изучаемой совокупности по ряду существенных признаков, в целом необходимо располагать системой средних величин, которые могут описать явление с разных сторон.

Существуют различные средние:

Средняя арифметическая;

Средняя геометрическая;

Средняя гармоническая;

Средняя квадратическая;

Средняя хронологическая.

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Средняя величина это:

1) наиболее типичное для совокупности значение признака;

2) объем признака совокупности, распределенный поровну между единицами совокупности.

Признак, для которого рассчитывается средняя величина, в статистике называется «осредняемый».

Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т.е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям. Так, если нужно сопоставить уровни оплаты труда работников на двух предприятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух работников разных предприятий. Оплата труда выбранных для сравнения работников может быть не типичной для этих предприятий. Если же сравнивать размеры фондов оплаты труда на рассматриваемых предприятиях, то не учитывается численность работающих и, следовательно, нельзя определить, где уровень оплаты труда выше. В конечном итоге сравнить можно лишь средние показатели, т.е. сколько в среднем получает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает необходимость расчета средней величины как обобщающей характеристики совокупности.

Важно отметить, что в процессе осреднения совокупное значение уровней признака или конечное его значение (в случае расчета средних уровней в ряду динамики) должно оставаться неизменным. Другими словами, при расчете средней величины объем исследуемого признака не должен быть искажен, и выражения, составляемые при расчетах средней, обязательно должны иметь смысл.

Вычисление среднего – один из распространенных приемов обобщения; средний показатель отрицает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае. В способности абстрагироваться от случайности отдельных значений, колебаний и заключена научная ценность средних как обобщающих характеристик совокупностей.

Для того, чтобы средний показатель был действительно типизирующим, он должен рассчитываться с учетом определенных принципов.

Остановимся на некоторых общих принципах применения средних величин.

1. Средняя должна определяться для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц.

2. Средняя должна исчисляться для совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц.

3. Средняя должна рассчитываться для совокупности, единицы которой находятся в нормальном, естественном состоянии.

4. Средняя должна вычисляться с учетом экономического содержания исследуемого показателя.

5.2. Виды средних и способы их вычисления

Рассмотрим теперь виды средних величин, особенности их исчисления и области применения. Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние, структурные средние.

К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.

В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.

Остановимся на степенных средних. Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя считается по не сгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

,

где X i – варианта (значение) осредняемого признака;

n – число вариант.

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид

,

где X i – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;

m – показатель степени средней;

f i – частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:

В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные.

Виды степенных средних

Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.

Главное требование к формуле расчета среднего значения заключается в том, чтобы все этапы расчета имели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должно заменить индивидуальные значения признака у каждого объекта без нарушения связи индивидуальных и сводных показателей. Иначе говоря, средняя величина должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого показателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговый сводный показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым. Этот итоговый показатель называется определяющим, поскольку характер его взаимосвязи с индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчета средней величины. Покажем это правило на примере средней геометрической.

Формула средней геометрической

используется чаще всего при расчете среднего значения по индивидуальным относительным величинам динамики.

Средняя геометрическая применяется, если задана последовательность цепных относительных величин динамики, указывающих, например, на рост объема производства по сравнению с уровнем предыдущего года: i 1 , i 2 , i 3 ,…, i n . Очевидно, что объем производства в последнем году определяется начальным его уровнем (q 0) и последующим наращиванием по годам:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .

Приняв q n в качестве определяющего показателя и заменяя индивидуальные значения показателей динамики средними, приходим к соотношению

Отсюда

Особый вид средних величин – структурные средние – применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен (например, если бы в рассмотренном примере отсутствовали данные и об объеме производства, и о сумме затрат по группам предприятий).

В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды – наиболее часто повторяющегося значения признака – и медианы – величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а у другой – не меньше его.

Если изучаемый признак имеет дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и медианы не бывает. Если же данные о значениях признака Х представлены в виде упорядоченных интервалов его изменения (интервальных рядов), расчет моды и медианы несколько усложняется. Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные по численности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака X. С помощью интерполяции в этом медианном интервале находят значение медианы:

,

где X Me – нижняя граница медианного интервала;

h Me – его величина;

(Sum m)/2 – половина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении);

S Me-1 – сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала;

m Me – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (также в абсолютном либо относительном выражении).

При расчете модального значения признака по данным интервального ряда надо обращать внимание на то, чтобы интервалы были одинаковыми, поскольку от этого зависит показатель повторяемости значений признака X. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется как

,

где Х Mo – нижнее значение модального интервала;

m Mo – число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном интервале (в абсолютном либо относительном выражении);

m Mo-1 – то же для интервала, предшествующего модальному;

m Mo+1 – то же для интервала, следующего за модальным;

h – величина интервала изменения признака в группах.

ЗАДАЧА 1

Имеются следующие данные по группе промышленных предприятий за отчетный год

Требуется выполнить группировку предприятий по обмену продукции, приняв следующие интервалы:

до 200 млн. руб.


от 200 до 400 млн. руб.


1. от 400 до 600 млн. руб.
   

   По каждой группе и по всем вместе определить число предприятий, объем продукции, среднесписочное число работников, среднюю выработку продукции на одного работника. Результаты группировки представить в виде статистической таблицы. Сформулировать вывод.
   

   РЕШЕНИЕ
   

   Произведем группировку предприятий по обмену продукции, расчет числа предприятий, объема продукции, среднесписочного числа работников по формуле простой средней. Результаты группировки и расчетов сводим в таблицу.
   

   Группы по объему продукции	№ предприятия	Объем продукции, млн. руб.	Среднегодовая стоимость основных средств, млн. руб.	Среднеспи сочное число работников, чел.	Прибыль, тыс. руб.	Средняя выработка продукции на одного работника
   1 группа до 200 млн. руб.	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   Средний уровень		198,3			24,9
   2 группа от 200 до 400 млн. руб.	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   Средний уровень		282,3	37,6	1530	64,0
   3 группа от 400 до 600 млн.	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   Средний уровень		512,9	34,4	1421	120,9
   Всего по совокупности		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   В среднем по совокупности		379,6	59,9	1223,6	79,5

   Вывод. Таким образом, в рассматриваемой совокупности наибольшее число предприятий по объему продукции попало в третью группу – семь, или половина предприятий. Величина среднегодовой стоимости основных средств также в данной группе, как и большая величина среднесписочного числа работников – 9974 человек, наименее прибыльны предприятия первой группы.
   

   ЗАДАЧА 2
   

   Имеются следующие данные по предприятиям фирмы
   

   Номер предприятия, входящего в фирму	I квартал		II квартал
   	Выпуск продукции, тыс. руб.		Отработано рабочими человеко-дней	Средняя выработка на одного рабочего в день, руб.
   	59390,13

В целях анализа и получения статистических выводов по результатом сводки и группировки исчисляют обобщающие показатели – средние и относительные величины.

Задача средних величин – охарактеризовать все единицы статистической совокупности одним значением признака.

Средними величинами характеризуются качественные показатели предпринимательской деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Средняя величина – это обобщающая характеристика единиц совокупности по какому–либо варьирующему признаку.

Средние величины позволяют сравнивать уровни одного и того же признака в различных совокупностях и находить причины этих расхождений.

В анализе изучаемых явлений роль средних величин огромна. Английский экономист В. Петти (1623-1687 гг.) широко использовал средние величины. В. Петти хотел использовать средние величины в качестве меры стоимости расходов на среднее дневное пропитание одного работника. Устойчивость средней величины – это отражение закономерности изучаемых процессов. Он считал что информацию можно преобразовать, даже если нет достаточного объема исходных данных.

Применял средние и относительные величины английский ученый Г. Кинг (1648-1712) при анализе данных о населении Англии.

Теоретические разработки бельгийского статистика А. Кетле (1796-1874 гг.) основаны на противоречивости природы социальных явлений – высокоустойчивых в массе, но сугубо индивидуальных.

Согласно А. Кетле постоянные причины действуют одинаково на каждое изучаемое явление и делают эти явления похожими друг на друга, создают общие для всех них закономерности.

Следствием учения А. Кетле явилось выделение средних величин в качестве основного приема статистического анализа. Он говорил, что статистические средние величины представляют собой не категорию объективной действительности.

А. Кетле выразил взгляды на среднюю величину в своей теории среднего человека. Средний человек – это человек, обладающий всеми качествами в среднем размере (средняя смертность или рождаемость, средний рост и вес, средняя быстрота бега, средняя наклонность к браку и самоубийству, к добрым делам и т. д.). Для А. Кетле средний человек – это идеал человека. Несостоятельность теории среднего человека А. Кетле была доказана в русской статистической литературе в конце XIX-XX вв.

Известный русский статистик Ю. Э. Янсон (1835-1893 гг.) писал, что А. Кетле предполагает существование в природе типа среднего человека как чего–то данного, от которого жизнь отклонила средних людей данного общества и данного времени, а это приводит его к совершенно механическому взгляду и на законы движения социальной жизни: движение – это постепенное возрастание средних свойств человека, постепенное восстановление типа; следовательно, такое нивелирование всех проявлений жизни социального тела, за которым всякое поступательное движение прекращается.

Сущность данной теории нашла свое дальнейшее развитие в работах ряда теоретиков статистики как теория истинных величин. У А. Кетле были последователи – немецкий экономист и статистик В. Лексис (1837-1914 гг.), перенесший теорию истинных величин на экономические явления общественной жизни. Его теория известна под названием теория устойчивости. Другая разновидность идеалистической теории средних величин основана на философии

Ее основатель – английский статистик А. Боули (1869– 1957гг.) – один из самых видных теоретиков новейшего времени в области теории средних величин. Его концепция средних величин изложена в книге «Элементы статистики».

А. Боули рассматривает средние величины лишь с количественной стороны, тем самым отрывает количество от качества. Определяя значение средних величин (или «их функцию»), А. Боули выдвигает махистский принцип мышления. А. Боули писал, что функция средних величин должна выражать сложную группу

с помощью немногих простых чисел. Статистические данные должны быть упрощены, сгруппированы и приведены к средним Эти взгляды: разделяли Р. Фишер (1890-1968 гг.), Дж. Юл (1871 – 1951 гг.), Фредерик С. Миллс (1892 г) и др.

В 30-е гг. XX в. и последующие годы средняя величина рассматривается как социально значимая характеристика, информативность которой зависит от однородности данных.

Виднейшие представители итальянской школы Р. Бенини (1862-1956 гг.) и К. Джини (1884-1965 гг.), считая статистику отраслью логики, расширили область применения статистической индукции, но познавательные принципы логики и статистики они связывали с природой изучаемых явлений, следуя традициям социологической трактовки статистики.

В работах К. Маркса и В. И. Ленина средним величинам отводится особая роль.

К. Маркс утверждал, что в средней величине погашаются индивидуальные отклонения от общего уровня и средний уровень становится обобщающей характеристикой массового явления Такой характеристикой массового явления средняя величина становится лишь при условии, если взято значительное число единиц и эти единицы качественно однородны. Маркс писал, чтобы находимая средняя величина была средней «…многих различных индивидуальных величин одного и того же вида».

Средняя величина приобретает особую значимость в условиях рыночной экономики. Она помогает определить необходимое и общее, тенденцию закономерности экономического развития непосредственно через единичное и случайное.

Средние величины являются обобщающими показателями, в которых находят выражение действие общих условий, закономерность изучаемого явления.

Статистические средние величины рассчитываются на основе массовых данных статистически правильно организованного массового наблюдения. Если статистическая средняя рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений), то она будет объективной.

Средняя величина абстрактна, так как характеризует значение абстрактной единицы.

От разнообразия признака у отдельных объектов абстрагируется средняя. Абстракция – ступень научного исследования. В средней величине осуществляется диалектическое единство отдельного и общего.

Средние величины должны применяться исходя из диалектического понимания категорий индивидуального и общего, единичного и массового.

Средняя отображает что–то общее, которое складывается в определенном единичном объекте.

Для выявления закономерностей в массовых общественных процессах средняя величина имеет большое значение.

Отклонение индивидуального от общего – проявление процесса развития.

В средней величине отражается характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений. Задачей средних величин является характеристика этих уровней и их изменений во времени и пространстве.

Средний показатель – это обычное значение, потому что формируется в нормальных, естественных, общих условиях существования конкретного массового явления, рассматриваемого в целом.

Объективное свойство статистического процесса или явления отражает средняя величина.

Индивидуальные значения исследуемого статистического признака у каждой единицы совокупности различны. Средняя величина индивидуальных значений одного вида – продукт необходимости, который является результатом совокупного действия всех единиц совокупности, проявляющийся в массе повторяющихся случайностей.

Одни индивидуальные явления имеют признаки, которые существуют во всех явлениях, но в разных количествах – это рост или возраст человека. Другие признаки индивидуального явления, качественно различные в различных явлениях, т. е. имеются у одних и не наблюдаются у других (мужчина не станет женщиной). Средняя величина вычисляется для признаков качественно однородных и различных только количественно, которые присущи всем явлениям в данной совокупности.

Средняя величина является отражением значений изучаемого признака и измеряется в той же размерности, что и этот признак.

Теория диалектического материализма учит, что все в мире меняется, развивается. А также изменяются признаки, которые характеризуются средними величинами, а соответственно – и сами средние.

В жизни происходит непрерывный процесс создания чего–то нового. Носителем нового качества являются единичные объекты, далее количество этих объектов возрастает, и новое становится массовым, типичным.

Средняя величина характеризует изучаемую совокупность только по одному признаку. Для полного и всестороннего представления изучаемой совокупности по ряду определенных признаков необходимо располагать системой средних величин, которые могут описать явление с разных сторон.

В статистической обработке материала возникают различные задачи, которые необходимо решать, и поэтому в статистической практике используются различные средние величины. Математическая статистика использует различные средние, такие как: средняя арифметическая; средняя геометрическая; средняя гармоническая; средняя квадратическая.

Для того чтобы применить одну из вышеперечисленных видов средней, необходимо проанализировать изучаемую совокупность, определить материальное содержание изучаемого явления, все это делается на основе выводов, полученных из принципа осмысленности результатов при взвешивании или суммировании.

В изучении средних величин применяются следующие показатели и обозначения.

Признак, по которому находится средняя, называется осредняемым признаком и обозначается х; величина осредняемого признака у любой единицы статистической совокупности называют индивидуальным его значением, или вариантами, и обозначают как x 1 , х 2 , x 3 ,… х п ; частота – это повторяемость индивидуальных значений признака, обозначается буквой f.

Средняя арифметическая

Один из наиболее распространенных видов средней – средняя арифметическая, которая исчисляется тогда, когда объем ос–редняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

Для вычисления средней арифметической величины сумму всех уровней признака делят на их число.

Если некоторые варианты встречаются несколько раз, то сумму уровней признака можно получить умножением каждого уровня на соответствующее число единиц совокупности с последующим сложением полученных произведений, исчисленная таким образом средняя арифметическая называется средней арифметической взвешенной.

Формула средней арифметической взвешенной выглядит следующим образом:

гдех i – варианты,

f i – частоты или веса.

Взвешенная средняя величина должна употребляться во всех случаях, когда варианты имеют различную численность.

Арифметическая средняя как бы распределяет поровну между отдельными объектами общую величину признака, в действительности варьирующуюся у каждого из них.

Вычисление средних величин производят по данным, сгруппированным в виде интервальных рядов распределения, когда варианты признака, из которых исчисляется средняя, представлены в виде интервалов (от – до).

Свойства средней арифметической:

1) средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических величин: Если х i = y i +z i , то

Данное свойство показывает в каких случаях можно суммировать средние величины.

2) алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений варьирующего признака от средней равна нулю, так как сумма отклонений в одну сторону погашается суммой отклонений в другую сторону:

Это правило демонстрирует, что средняя является равнодействующей.

3) если все варианты ряда увеличить или уменьшить на одно и тоже число?, то средняя увеличится или уменьшится на это же число?:

4) если все варианты ряда увеличить или уменьшить в А раз, то средняя также увеличится или уменьшится в А раз:

5) пятое свойство средней показывает нам, что она не зависит от размеров весов, но зависит от соотношения между ними. В качестве весов могут быть взяты не только относительные, но и абсолютные величины.

Если все частоты ряда разделить или умножить на одно и тоже число d, то средняя не изменится.

Средняя гармоническая. Для того чтобы определить среднюю арифметическую, необходимо иметь ряд вариантов и частот, т. е. значения х и f.

Допустим, известны индивидуальные значения признака х и произведения х/, а частоты f неизвестны, тогда, чтобы рассчитать среднюю, обозначим произведение = х/; откуда:

Средняя в этой форме называется средней гармонической взвешенной и обозначается х гарм. взв.

Соответственно, средняя гармоническая тождественна средней арифметической. Она применима, когда неизвестны действительные веса f , а известно произведение fх = z

Когда произведения fх одинаковы или равны единицы (m = 1) применяется средняя гармоническая простая, вычисляемая по формуле:

где х – отдельные варианты;

n – число.

Средняя геометрическая

Если имеется n коэффициентов роста, то формула среднего коэффициента:

Это формула средней геометрической.

Средняя геометрическая равна корню степени n из произведения коэффициентов роста, характеризующих отношение величины каждого последующего периода к величине предыдущего.

Если осреднению подлежат величины, выраженные в виде квадратных функций, применяется средняя квадратическая. Например, с помощью средней квадратической можно определить диаметры труб, колес и т. д.

Средняя квадратическая простая определяется путем извлечения квадратного корня из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число.

Средняя квадратическая взвешенная равна:

Для характеристики структуры статистической совокупности применяются показатели, которые называют структурными средними. К ним относятся мода и медиана.

Мода (М о ) – чаще всего встречающийся вариант. Модой называется значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределений.

Мода представляет наиболее часто встречающееся или типичное значение.

Мода применяется в коммерческой практике для изучения покупательского спроса и регистрации цен.

В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду модой считают центральный вариант интервала, который имеет наибольшую частоту (частность).

В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является модой.

где х о – нижняя граница модального интервала;

h – величина модального интервала;

f m – частота модального интервала;

f т -1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f m +1 – частота интервала, следующего за модальным.

Мода зависит от величины групп, от точного положения границ групп.

Мода – число, которое в действительности встречается чаще всего (является величиной определенной), в практике имеет самое широкое применение (наиболее часто встречающийся тип покупателя).

Медиана (M e – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие.

Медиана – это элемент, который больше или равен и одновременно меньше или равен половине остальных элементов ряда распределения.

Свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины.

Применение медианы позволяет получить более точные результаты, чем при использовании других форм средних.

Порядок нахождения медианы в интервальном вариационном ряду следующий: располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру; определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных частотах находим медианный интервал:

где х ме – нижняя граница медианного интервала;

i Me – величина медианного интервала;

f/2 – полусумма частот ряда;

S Me -1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

f Me – частота медианного интервала.

Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где накопленная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности совокупности.

По дисциплине: Статистика

Вариант № 2

Средние величины, применяемые в статистике

Введение………………………………………………………………………….3

Теоретическое задание

Средняя величина в статистике, ее сущность и условия применения.

1.1. Сущность средней величины и условия применения………….4

1.2. Виды средних величин……………………………………………8

Практическое задание

Задача 1,2,3………………………………………………………………………14

Заключение……………………………………………………………………….21

Список используемой литературы……………………………………………...23

Введение

Данная контрольная работа состоит из двух частей – теоретической и практической. В теоретической части будет подробно рассмотрена такая важная статистическая категория как средняя величина с целью выявления её сущности и условий применения, а также выделения видов средних и способов их расчёта.

Статистика, как известно, изучает массовые социально-экономические явления. Каждое из этих явлений может иметь различное количественное выражение одного и того же признака. Например, заработная плата одной и той же профессии рабочих или цены на рынке на один и тот же товар и т.д. Средние величины характеризуют качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Для изучения какой-либо совокупности по варьирующим (количественно изменяющимся) признакам статистика использует средние величины.

Сущность средней величины

Средняя величина - это обобщающая количественная характеристика совокупности однотипных явлений по одному варьирующему признаку. В экономической практике используется широкий круг показателей, вычисленных в виде средних величин.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она представляет значение определенного признака во всей совокупности одним числом, несмотря на количественные различия его у отдельных единиц совокупности, и выражает то общее, что присуще всем единицам изучаемой совокупности. Таким образом, через характеристику единицы совокупности она характеризует всю совокупность в целом.

Средние величины связаны с законом больших чисел. Суть этой связи заключается в том, что при осреднении случайные отклонения индивидуальных величин в силу действия закона больших чисел взаимопогашаются и в средней выявляется основная тенденция развития, необходимость, закономерность. Средние величины позволяют сравнивать показатели, относящиеся к совокупностям с различной численностью единиц.

В современных условиях развития рыночных отношений в экономике средние служат инструментом изучения объективных закономерностей социально-экономических явлений. Однако в экономическом анализе нельзя ограничиваться лишь средними показателями, так как за общими благоприятными средними могут скрываться и крупные серьезные недостатки в деятельности отдельных хозяйствующих субъектов, и ростки нового, прогрессивного. Например, распределение населения по доходу позволяет выявлять формирование новых социальных групп. Поэтому наряду со средними статистическими данными необходимо учитывать особенности отдельных единиц совокупности.

Средняя величина являются равнодействующей всех факторов, оказывающих влияние на изучаемое явление. То есть, при расчете средних величин взаимопогашаются влияние случайных (пертурбационных, индивидуальных) факторов и, таким образом, возможно определение закономерности, присущей исследуемому явлению. Адольф Кетле подчеркивал, что значение метода средних величин состоит в возможности перехода от единичного к общему, от случайного к закономерному, и существование средних величин является категорией объективной действительности.

Статистика изучает массовые явления и процессы. Каждое из таких явлений обладает как общими для всей совокупности, так и особенными, индивидуальными свойствами. Различие между индивидуальными явлениями называют вариацией. Другое свойство массовых явлений - присущая им близость характеристик отдельных явлений. Итак, взаимодействие элементов совокупности приводит к ограничению вариации хотя бы части их свойств. Эта тенденция существует объективно. Именно в её объективности заключается причина широчайшего применения средних величин на практике и в теории.

Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчёте на единицу качественно однородной совокупности.

В экономической практике используется широкий круг показателей, вычисленный в виде средних величин.

С помощью метода средних величин статистика решает много задач.

Главное значение средних состоит в их обобщающей функции, то есть замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений.

Если средняя величина обобщает качественно однородные значения признака, то она является типической характеристикой признака в данной совокупности.

Однако неправильно сводить роль средних величин только к характеристике типичных значений признаков в однородных по данному признаку совокупностях. На практике значительно чаще современная статистика использует средние величины, обобщающие явно однородные явления.

Средняя величина национального дохода на душу населения, средняя урожайность зерновых культур по всей стране, среднее потребление разных продуктов питания – это характеристики государства как единой народнохозяйственной системы, это так называемые системные средние.

Системные средние могут характеризовать как пространственные или объектные системы, существующие одномоментно (государство, отрасль, регион, планета Земля и т.д.), так и динамические системы, протяжённые во времени (год, десятилетие, сезон и т.д.).

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. Например, курс акций корпорации в целом определяется ее финансовым положением. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу. Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.

Вычисление среднего - один из распространённых приёмов обобщения; средний показатель отражает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости.

Средняя – это сводная характеристика закономерностей процесса в тех условиях, в которых он протекает.

Каждая средняя характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку, но для характеристики любой совокупности, описания её типических черт и качественных особенностей нужна система средних показателей. Поэтому в практике отечественной статистики для изучения социально-экономических явлений, как правило, исчисляется система средних показателей. Так, например, показатель средней заработной платы оцениваются совместно с показателями средней выработки, фондовооружённости и энерговооружённости труда, степенью механизации и автоматизации работ и др.

Средняя должна вычисляться с учётом экономического содержания исследуемого показателя. Поэтому для конкретного показателя, используемого в социально экономическом анализе, можно исчислить только одно истинное значение средней на базе научного способа расчёта.

Средняя величина это один из важнейших обобщающих статистических показателей, характеризующий совокупность однотипных явлений по какому-либо количественно варьирующему признаку. Средние в статистике это обобщающие показатели, числа, выражающие типичные характерные размеры общественных явлений по одному количественно варьирующему признаку.

Виды средних величин

Виды средних величин различаются прежде всего тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.

Средняя арифметическая

Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объём признака в совокупности остаётся неизменным. Иначе можно сказать, что средняя арифметическая величина – среднее слагаемое. При её вычислении общий объём признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности.

Средняя арифметическая применяется, если известны значения осредняемого признака (х) и количество единиц совокупности с определённым значением признака (f).

Средняя арифметическая бывает простой и взвешенной.

Средняя арифметическая простая

Простая используется, если каждое значение признака х встречается один раз, т.е. для каждого х значение признака f=1, или если исходные данные не упорядочены и неизвестно, сколько единиц имеют определённые значения признака.

Формула средней арифметической простой имеет вид.